Закон распределения дискретной случайной величины




Скачать 360.81 Kb.
НазваниеЗакон распределения дискретной случайной величины
страница1/3
Дата публикации25.08.2013
Размер360.81 Kb.
ТипЗакон
exam-ans.ru > Астрономия > Закон
  1   2   3
Глава 1. Дискретная случайная величина
§1.Понятия случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.
Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.


x

x1

x2

х3



хn

p

р1

р2

р3

...

рn


где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).


рис.1

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n
Задача№1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х- числа экзаменов, которые сдаст студент.
Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений: x1=0, x2=1, х3=2.

Найдем вероятность этих значений. Обозначим события:




По условию:


Тогда:



Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:


x

0

1

2

p

0,6

0,38

0,56


Контроль:0,6+0,38+0,56=1.
§2. Функция распределения
Полное описание случайной величины дает также функция распределения.
Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:
F(x)=Р(Х<х)
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.
Свойства функции распределения:

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);

3) F(x)- непрерывна слева в точках х= xi (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:

x

x1

x2

х3



хn

p

р1

р2

р3

...

рn


то функция распределения F(x) определяется формулой:



0 при х≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3

… … …

1 при х> хn.


Её график изображен на рис.2:



рис.2

§3. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

n

М(Х)=∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

i=1
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С•Х)=С•М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;
Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))2

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х- случайная величина;

3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

n

где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

i=1

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).
Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

^ Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:


х

-1

0

1

2

3

р

0,1

Р2

0,3

0,2

0,3


Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем функцию распределения F(х)=P(X
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Если х≤-1, то F(х)=0, т.к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины;

Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т.к. в промежуток

(-∞;х) попадают два значения x1=-1 и x2=0;

Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 и х5=3.

Итак,

0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3




Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):



рис. 3
Найдем числовые характеристики случайной величины:

n

М(Х)=∑ xκрκ =x1р1 + x2р2+…+ xnрn

κ=1

M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5

n

D(X)= ∑ x2κрκ –(M(X))2 = x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2

κ=1

D(X)=(-1)2 •0,1+12•3+22•0,2+32•0,3-(1,5)2=1,65

≈1,2845.


§4. Биномиальный закон распределения

дискретной случайной величины, закон Пуассона.
Определение: Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины Х- числа появлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:
Р(Х=m)=Сmnpmqn-m
Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:
M(X)=np,
D(X)=npq,

Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р≤0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:
Р(Х=m)=Рn(m)= e-λ λm , где λ=np

m !

Тогда говорят, что случайная величина Х - распределена по закону Пуассона.

Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.
Задача№3. Составить закон распределения случайной величины Х-числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X),D(X), σ(Х) этой величины.
Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.

Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т.е. Р(А)=р=1/6, тогда Р(А)=1-p=q=5/6, где

- «выпадения не пятерки».

Случайная величина Х может принимать значения: 0;1;2;3.

Вероятность каждого из возможных значений Х найдем по формуле Бернулли:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1•(1/6)0•(5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3•(1/6)1•(5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3•(1/6)2•(5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1•(1/6)3•(5/6)0=1/216.
Т.о. закон распределения случайной величины Х имеет вид:


х

0

1

2

3

р

125/216

75/216

15/216

1/216


Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.
Найдем числовые характеристики случайной величины Х:
M(X)=np=3•(1/6)=1/2,

D(X)=npq=3•(1/6) •(5/6)=5/12,


Задача№4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.
Решение: Число n=1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:
Рn(m)= e-λ λm

m !

Найдем λ=np=1000•0,002=2.
а)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32•0,13534 = 0,0361

5 ! 120

б)Найдем вероятность того, что будет хотя бы одна бракованная деталь.

Событие А -«хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию -«все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2=1-0,13534≈0,865.

0 !

Задачи для самостоятельной работы.
1.1Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:

х

-2

0

2

5

р

0,3

0,2

Р3

0,1

Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).
1.2.Дисперсная случайная величина Х задана законом распределения:


х

-1

0

1

2

3

р

0,3

0,1

0,2

Р4

0,3

Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).
1.3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х- число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.
1.4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.
1.5.В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
1.6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х- число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).
1.7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.
1.8.На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).
1.9.В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х- числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины.
1.10.Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x).
1.11.Имеется 3 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения случайной величины Х-числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X),D(X).
1.12.Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов.
1.13.Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х23, причем х123. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.
1.14.Блок электронного устройства содержит 100 одинаковых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течении времени Т равна 0,002. Элементы работают независимо. Найти вероятность того, что за время Т откажет не более двух элементов.
1.15.Учебник издан тиражом 50000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит:

а) четыре бракованные книги,

б) менее двух бракованных книг.
1.16.Число вызовов, поступающих на АТС каждую минуту, распределено по закону Пуассона с параметром λ=1,5. Найдите вероятность того, что за минуту поступит:

а) два вызова;

б)хотя бы один вызов.
1.17.Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

х

-2

0

2

р

0,5

0,2

0,3

х

0

1

3

р

0,2

0,5

0,3
Х: Y:

Найти M(Z),D(Z), если Z=3X+Y.


1.18.Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

х

0

2

4

р

0,1

0,4

0,5

х

3

4

5

р

0,2

0,4

0,4
Х: Y:

Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y.

Ответы:




1.1.р3=0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5



M(Х)=0,7; D(Х)=4,87; σ(Х) ≈2,193.




1.2. р4=0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3




M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.
1.3.

х

1

2

3

р

7/84

1/2

35/84


1.4.

х

2

3

4

р

2/5

8/15

1/15


1.5.


х

0

1

2

р

0,03

0,34

0,63

0 при х≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2



1.6.

х

0

1

2

3

р

0,03

0,22

0,47

0,28



M(Х)=2; D(Х)=0,62


1.7.

х

0

10

20

30

р

0,008

0,096

0,384

0,512



M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896
1.8.

х

0

1

2

3

р

27/512

135/512

225/512

125/512


M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х)
1.9.

х

0

1

2

3

4

р

0,0256

0,1536

0,3456

0,3456

0,1296


M(Х)=2,4; D(Х)=0,96
1.10.

х

1

2

3

4

р

0,3

0,21

0,147

0,343


0 при х≤ 1,

0,3 при 1<х≤2,

F(x)= 0,51 при 2<х≤3,

0,657 при 3<х≤4,

1 при х>4

1.11.

х

1

2

3

р

1/3

1/3

1/3


M(Х)=2; D(Х)=2/3
1.12.

х

1

2

3

р

0,9

0,09

0,01

1.13.

х

1

2

3

р

0,3

0,2

0,5


1.14. 1,22• e-0,2≈0,999
1.15. а)0,0189; б) 0,00049
1.16. а)0,0702; б)0,77687
1.17. 3,8; 14,2
1.18. 11,2; 4.

  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Закон распределения дискретной случайной величины iconКонтрольная работа по курсу «Методы проектирования и оптимизации рэa»
Выполнить моделирование на ЭВМ базовой случайной величины (бсв) Х. Получить выборки реализаций бсв объемом n = 170, 1700. Для каждого...

Закон распределения дискретной случайной величины iconКонтрольная работа Оценка параметров функции распределения и построение...
Научить пользоваться методами математической статистики: оценкой параметров распределения случайных величин, построению гистограммы...

Закон распределения дискретной случайной величины iconТеория вероятности
Из ящика, содержащего 8 деталей, среди которых 2 нестандартные, наудачу извлечены 4 детали. Для св Х – число нестандартных деталей...

Закон распределения дискретной случайной величины iconЛекция Параметры состояния в термодинамике и первый закон термодинамики
Физическая величина – категория мышления, характеризуется отвлеченным числом и наименованием. Отвлеченное число определяет количество,...

Закон распределения дискретной случайной величины iconМетодика по определению величины затрат на проведение восстановительного...
Настоящая методика составлена в целях регламентации действий эксперта-техника при проведении независимой технической экспертизы транспортного...

Закон распределения дискретной случайной величины iconГ. Г. Никифоров (Москва, нии симо апн ссср). Курс «Физические величины и их измерения»
Курс «Физические величины и их измерения» ставит своей це­лью дать возможность учащимся, интересующимся физикой, по­знакомиться с...

Закон распределения дискретной случайной величины iconИндивидуальное домашнее задание по дискретной математике

Закон распределения дискретной случайной величины iconЗакон
Закон стал орудием всяческой алчности! Не сдерживающий преступности, а сам повинный во зле, закон подлежит каре!

Закон распределения дискретной случайной величины iconЗакон об областном бюджете на 2012 год и на плановый период 2013 и 2014 годов
Утвердить нормативы распределения доходов между областным и местными бюджетами на 2012 год и на плановый период 2013 и 2014 годов...

Закон распределения дискретной случайной величины iconЗакон об областном бюджете на 2012 год и на плановый период 2013 и 2014 годов
Утвердить нормативы распределения доходов между областным и местными бюджетами на 2012 год и на плановый период 2013 и 2014 годов...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
exam-ans.ru
<..на главную