Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»




Скачать 59.91 Kb.
НазваниеПрограмма кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
Дата публикации26.10.2014
Размер59.91 Kb.
ТипПрограмма
exam-ans.ru > Математика > Программа
Правительство Российской Федерации

Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет


«Высшая школа экономики»


УТВЕРЖДЕНО

Проректор НИУ-ВШЭ
________________С.Ю.Рощин
«____»_______________ 2012 г.

Одобрена на заседании Учёного совета факультета математики
«____»_____________________2012 г.


Декан факультета математики, д.ф.-м.н.
_______________________С.К.Ландо


ПРОГРАММА

кандидатского экзамена по специальности 01.01.06

«Математическая логика, алгебра и теория чисел»

Москва, 2012 г.


Общая часть
На экзамене кандидатского минимума по специальности 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» аспиранты факультета математики должны продемонстрировать знание следующих тем:
(1) Теория множеств: мощность, теорема Кантора-Бернштейна, порядковые числа, принцип трансфинитной индукции, аксиома выбора.

(2) Логика: булевы алгебры множеств, исчисление предикатов, понятие алгоритма, вычислимость по Тьюрингу, классы P и NP.
(3) Теория вероятностей: случайные величины и их распределения, математическое ожидание, дисперсия, независимость и условные вероятности, закон больших чисел, центральная предельная теорема.
(4) Теория групп: группы, подгруппы, смежные классы, гомоморфизмы, факторгруппы, строение конечно порожденных абелевых групп, теоремы Силова, свободные группы, задание групп образующими и соотношениями, простые, разрешимые и нильпотентные группы. Необходимо также знакомство с конкретными примерами групп, включая симметрические, знакопеременные, группы симметрии, матричные группы (полная линейная, специальная линейная), группы вычетов.
(5) Теория колец: кольца, идеалы, факторкольца, прямое произведение колец, китайская теорема об остатках, евклидовы кольца, факториальность, обратимые, простые и неприводимые элементы, простые и максимальные идеалы. Знакомство с конкретными кольцами должно включать комплексные числа, гауссовы целые числа, кольца вычетов, кольца многочленов и степенных рядов, кольца матриц.
(6) Линейная алгебра: векторные пространства и линейные отображения, базисы, размерность, двойственность, системы линейных уравнений, жорданова нормальная форма, характеристический и минимальный многочлены, квадратичные формы, положительная определенность, полилинейные формы, симметрическая и внешняя степень векторного пространства.
(7) Теория модулей: тензорное произведение модулей, теорема о строении конечно-порождённых модулей над кольцами главных идеалов и её следствия для групп и линейных операторов.
(8) Теория представлений: лемма Шура, теорема Машке, теория характеров. Необходимо умение классифицировать представления симметрических групп и групп SU(2) и SO(3).
(9) Теория полей: поля, характеристика, структура и автоморфизмы конечных полей, конечные, алгебраические, сепарабельные расширения, основная теорема теории Галуа.
(10) Основы теории чисел: квадратичный закон взаимности, кольца целых полей алгебраических чисел, приближение вещественных чисел рациональными дробями, цепные дроби, теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными, трансцендентность числа e.
(11) Основы алгебраической геометрии и коммутативной алгебры: нётеровы кольца, теорема Гильберта о базисе, аффинные многообразия, теорема Гильберта о нулях.

(12) Пределы последовательностей и пределы функций, сходимость рядов. Непрерывные функции. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Равномерная непрерывность, равномерная сходимость.
(13) Общая топология: открытые и замкнутые подмножества в R^n. Компактность, связность, внутренность и замыкание, всюду плотные и нигде не плотные множества. Непрерывные отображения. Топологические пространства. Хаусдорфовы и метрические пространства. Полнота и пополнение. Теорема Бэра. Компактность. Связность. Нормальность.
(14) Гомотопическая и алгебраическая топология: гомотопные отображения, накрытия, фундаментальная группа, локально тривиальные расслоения, группы гомологий и когомологий, клеточные разбиения, умножение в когомологиях, индекс пересечения на ориентированном многообразии, двойственность Пуанкаре.
(15) Дифференциальное исчисление: производные и дифференциалы отображений из R^m в R^n, теорема о производной сложной функции, ряд Тейлора, способы нахождения экстремумов, множители Лагранжа.
(16) Интегральное исчисление: мера и интеграл Лебега, предельный переход под знаком интеграла Лебега, теорема Фубини. Вычисление длин кривых и площадей поверхностей при помощи интегралов.
(17) Геометрия: аффинные и проективные пространства, аффинные и проективные отображения, кривые второго порядка (коники), поверхности второго порядка (квадрики), дробно-линейные отображения.
(18) Комплексный анализ: комплексная производная, голоморфные функции, теоремы Коши и Морера, интегральная формула Коши, теорема о вычетах, принцип сохранения области, принцип максимума модуля, лемма Шварца, теорема Римана о конформном отображении, принцип соответствия границ, принцип симметрии.
(19) Дифференциальные уравнения: теорема существования и единственности, решение уравнений методом разделения переменных, линейные уравнения первого и второго порядков, однородные уравнения, теорема Фробениуса.

Литература.
В.И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984 (и другие издания)
В.И. Арнольд, Математические методы классической механики. Изд. 3-е, перераб. и доп.-М.: Наука, 1989 (и другие издания)
З. И. Боревич, И. P. Шафаревич, Теория чисел. М: Наука 1985
Б.Л. Ван дер Варден, Алгебра. М.: Наука, 1976
B.А. Васильев, Введение в топологию, М: Фазис 1997
Н. К. Верещагин, А. Шень, Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. Часть 2. Языки и исчисления. Часть 3. Вычислимые функции. М: МЦНМО, 2002. http://www.mccme.ru/free-books/
Э.Б. Винберг, Курс алгебры. М: Факториал 1999
Э. Б. Винберг, Линейные представления групп. М.: Hayка 1985

О.Я. Виро и др., Элементарная топология. М: МЦНМО 2010
И.М. Гельфанд, Лекции по линейной алгебре, М: Наука 1971

В.А. Зорич, Математический анализ. М: МЦНМО 2007
A.Н. Колмогоров. С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа, М: Наука 1976
Э. Мендельсон Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.
В.В. Прасолов. В.М. Тихомиров, Геометрия. М: МЦНМО 1997
Б.В. Шабат, Введение в комплексный анализ. Лань 2004
И. Р. Шафаревич Основы алгебраической геометрии. М: Наука, 1972.
А.Н. Ширяев. Вероятность, 2 т. МЦНМО, 2007
А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии. М: Наука, 1989
Специальная часть
На экзамене кандидатского минимума по специальности 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» аспиранты факультета математики также должны продемонстрировать знание одной из следующих тем (в зависимости от своей темы диссертации).
1) Формула МакМагона для числа плоских разбиений, вписанных в данный параллелепипед.

2) Базисы Гельфанда-Цетлина в неприводимых представлениях полной линейной группы.
проф. Б.Л.Фейгин
1) Описание неприводимых полиномиальных представлений группы SL_n(C).

2) Системы результантов. A – результант. Детерминант комплекса.

3) Алгебра сизигий проективного алгебраического многообразия. Теорема Гильберта о сизигиях.

4) Касательная гипералгебра (алгебра Хопфа распределений в единице) аффинной алгебраической группы над полем положительной характеристики восстанавливает группу однозначно с точностью до накрытия.

5) Исключительные наборы в производных категориях. Исключительный базис производной категории на проективном пространстве. Действие группы кос на исключительных наборах.
проф. А.Л.Городенцев
1) Структура коммутативных алгебра Хопфа.

2) Оснащённые хордовые диаграммы.
проф. С.К.Ландо

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconПрограмма кандидатского экзамена по специальности Научная специальность
Программа предназначена для подготовки к сдаче кандидатского экзамена по специальности «Теория и история права и государства; история...

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconПрограмма кандидатского экзамена по научной специальности 13. 00....
Экзамен кандидатского минимума по специальности 13. 00. 08. — «Теория и методика профессионального образования» является одной из...

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconПрограмма-минимум кандидатского экзамена по специальности 08. 00....
Программа кандидатского минимума по специальности 08. 00. 05 состоит из двух обязательных разделов: основ теории управления экономическими...

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconПрограмма кандидатского экзамена по специальности 12. 00. 01 Теория...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconПрограмма минимум кандидатского экзамена по специальности 22. 00....
Московский государственный институт международных отношений (университет) мид россии

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconУчебно-методическое пособие предназначено для подготовки к сдаче...
Правительства Российской Федерации вместо ранее принимавшегося кандидатского экзамена по философии. Успешная сдача указанного экзамена...

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconПрограмма кандидатского экзамена по специальности 12. 00. 01 «Теория...
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский государственный...

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconРабочая программа дисциплины математика (математический анализ, линейная...
Негосударственное образовательное учреждение высшего профессионального образования (институт)

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconПрограмма-минимум (Часть I основная) кандидатского экзамена по специальности...
Научные центры должны включить в экзаменационные билеты также вопросы по узкой направленности структурного подразделения (отдела,...

Программа кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел» iconПрограмма кандидатского экзамена по специальности вещественный, комплексный...
Ли и алгебры Ли, линейные операторы в гильбертовом пространстве, теория представлений групп, а также программы соответствующих курсов...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
exam-ans.ru
<..на главную