Алгебраическая дробь это дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Другими словами, алгебраическая дробь это деление двух многочленов, записанное с помощью дробной черты.
Любую алгебраическую дробь можно представить в виде выражения:
| a | , |
| b |
где a и b это многочлены и b&ne,0.
Дробная черта в записи алгебраической дроби заменяет собой скобки, которые должны были бы присутствовать, если частное было бы записано не в виде дроби:
| (a + 3) : (a2 + 9) = | a + 3 | . |
| a2 + 9 |
Примеры алгебраических дробей:
| a + 3 | , | 7 | , | 1 | . |
| a2 + 9 | x | 2 |
Обратите внимание на последний пример: обыкновенные дроби являются одновременно и алгебраическими, так как любое число можно считать многочленом, состоящим из одного члена.
Любой многочлен можно записать в виде алгебраической дроби, знаменатель которой равен единице:
| a2 + 9 = | a2 + 9 | , |
| 1 |
| 15 = | 15 | , |
| 1 |
| x2 + 2xy + y2 = | x2 + 2xy + y2 | . |
| 1 |
Сокращение алгебраических дробей
Основное свойство алгебраической дроби:
Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же многочлен, то получится дробь, равная данной.
В виде буквенной формулы основное свойство алгебраической дроби можно записать так:
| a | = | a ·, c | и | a | = | a : c | |
| b | b ·, c | b | b : c | , |
где c&ne,0.
Используя основное свойство алгебраических дробей, выполняют их сокращение. Сокращение алгебраических дробей это деление числителя и знаменателя дроби на их общий множитель.
Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо числитель и знаменатель разложить на множители. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если у числителя и знаменателя общих множителей нет, то дробь является несократимой.
Пример 1. Сократить дробь:
| ab2 + bc | . |
| ab2 |
Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители, выделим их общий множитель и сократим дробь на него:
| ab2 + bc | = | b(ab + с) | = | ab + с | . |
| ab2 | b ·, ab | ab |
Пример 2. Упростить дробь:
| 3x(a + b) | . |
| x2(b — a) |
Решение: Сначала мы можем сократить дробь на общий множитель x в первой степени:
| 3x(a + b) | = | 3(a + b) | . |
| x2(b — a) | x(b — a) |
Теперь стоит внимательно посмотреть на многочлены, заключённые в скобки:
a + b и b — a.
Чтобы многочлен из знаменателя привести к тому же виду, что и у многочлена в числителе, надо поменять у многочлена b — a знак на противоположный и переставить члены местами:
b — a = -(-b + a) = -(a — b).
Теперь и в числителе и в знаменателе у нас есть общий множитель, который можно сократить:
| 3(a + b) | = | 3(a + b) | = — | 3 | . |
| x(b — a) | -x(a + b) | x |
Пример 3. Сократите дробь:
| 24ab3c5 | . |
| 16a5b3c |
Решение: Числитель и знаменатель дроби являются одночленами. Каждый одночлен это произведение, состоящее из множителей, значит, можно сразу переходит к сокращению:
- Начинаем с числового множителя. Числовые множители можно сократить на их наибольший общий делитель. Для чисел 24 и 16 это число 8. После сокращения от 24 останется 3, а от 16 2.
- Буквенные множители сокращаем на степень с наименьшим встречающимся показателем:
- a и a5 сокращаем на a. Единицу в числитель не пишем, а в знаменателе остаётся a4.
- b3 и b3 сокращаем на b3, единицы в результат не записываем.
- c5 и c сокращаем на c, в числитель пишем c4, в знаменатель не пишем ничего.
Следовательно:
| 24ab3c5 | = | 3c4 | . |
| 16a5b3c | 2a4 |