Деление с остатком это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Как делить с остатком?
Выполнить деление не всегда возможно, так как бывают случаи, когда одно число не делится на другое. Например, число 11 не делится на 3, так как нет такого натурального числа, при умножении которого на 3 получилось бы 11.
Когда деление невозможно выполнить условились делить не всё делимое, а только наибольшую его часть, какая только может разделиться на делитель. В данном примере наибольшая часть делимого, которая может быть разделена на 3 это 9 (в результате получим 3), оставшаяся меньшая часть делимого 2 не разделится на 3.
Говоря о делении 11 на 3, 11 по прежнему называется делимым, 3 делителем, результат деления число 3, называют неполным частным, а число 2 остатком от деления. Само деление в этом случае называют делением с остатком.
Неполное частное это наибольшее число, которое при умножении на делитель даёт произведение, не превосходящее делимого. Остаток это разность между делимым и этим произведением. Остаток всегда меньше делителя, иначе его тоже можно было бы поделить на делитель.
Остаток всегда меньше делителя.
Деление с остатком можно записывать так:
27 : 7 = 3 (ост. 6),
где 27 это делимое, 7 делитель, 3 неполное частное, а 6 остаток.
Если при делении одного натурального числа на другое в остатке получается 0, то говорят, что первое число делится на второе нацело. Например, 4 делится на 2 нацело. Число 5 не делится на 2 нацело. Слово нацело обычно опускают для краткости и говорят: такое-то число делится на другое, например: 4 делится на 2, а 5 не делится на 2.
Пример. Выполнить деление с остатком:
1) 19 : 6,
2) 27 : 5,
3) 60 : 8.
Решение:
1) 19 : 6 = 3 (ост. 1),
2) 27 : 5 = 5 (ост. 2),
3) 60 : 8 = 7 (ост. 4).
Задание. Какие остатки могут получаться при делении на 3? на 6? на 8?
Решение: Так как остаток всегда меньше делителя то:
- при делении на 3 остаток может быть 2 или 1,
- при делении на 6 в остатке может получится 5, 4, 3, 2 или 1,
- при делении на 8 остаток будет равен 7, 6, 5, 4, 3, 2 или 1.
Проверка деления с остатком
Рассмотрим выражение:
15 : 2 = 7 (ост. 1),
где 15 это делимое, 2 делитель, 7 неполное частное, а 1 остаток.
Чтобы узнать правильно ли было выполнено деление с остатком, можно неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, равное делимому, то деление с остатком выполнено верно:
7 ·, 2 + 1 = 15
или
2 ·, 7 + 1 = 15.