При выполнении преобразований разных выражений часто встречаются некоторые частные случаи умножения. Равенства, выражающие эти случаи, называются формулами сокращённого умножения.
Формулы сокращённого умножения это выражения, в которых пропущены промежуточные вычисления, поэтому их и называют сокращёнными.
a2 + b2 = (a + b)2 — 2ab сумма квадратов,
a2 — b2 = (a + b)(a — b) разность квадратов,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 квадрат суммы,
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2 квадрат разности,
a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2) сумма кубов,
a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2) разность кубов,
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 куб суммы,
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 куб разности.
Обратите внимание, что a и b в формулах сокращённого умножения могут быть как числами, так и выражениями.
Разложение формул сокращенного умножения
Рассмотрим каждую формулу подробнее и приведём доказательство верности формул сокращённого умножения.
Сумма квадратов двух чисел равна разности квадрата суммы этих чисел и их удвоенного произведения:
a2 + b2 = (a + b)2 — 2ab.
Доказательство: выполним преобразование правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
(a + b)2 — 2ab = (a + b)(a + b) — 2ab = a2 + ab + ab + b2 — 2ab = a2 + b2.
Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:
a2 — b2 = (a + b)(a — b).
Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
(a + b)(a — b) = a2 — ab + ab — b2 = a2 — b2.
Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа:
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2.
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
(a — b)2 = (a — b)(a — b) = a2 — ab — ab + b2 = a2 — 2ab + b2.
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы первого и второго числа на неполных квадрат разности этих чисел:
a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2).
Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
(a + b)(a2 — ab + b2) = a3 — a2b + ab2 + a2b — ab2 + b3 = a3 + b3.
Разность кубов двух чисел равна произведению разности первого и второго числа на неполный квадрат суммы этих чисел:
a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2).
Доказательство: выполним умножение многочленов из правой части формулы, приведём подобные члены и получим левую часть формулы:
(a — b)(a2 + ab + b2) = a3 + a2b + ab2 — a2b — ab2 — b3 = a3 — b3.
Куб суммы двух чисел равен сумме четырёх слагаемых: куб первого числа, утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, утроенное произведение первого числа на квадрат второго и куб второго числа:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа:
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3.
Доказательство: представим степень в виде произведения, выполним умножение и приведение подобных членов:
(a — b)3 = (a — b)(a — b)2 = (a — b)(a2 — 2ab + b2) = a3 — 2a2b + ab2 — a2b + 2ab2 — b3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3.
Неполный квадрат суммы
Выражение:
a2 + 2ab + b2
это квадрат суммы, которое также называется полным квадратом суммы, относительно выражения:
a2 + ab + b2,
которое называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.
Неполный квадрат разности
Выражение:
a2 — 2ab + b2
это квадрат разности, который также называется полным квадратом разности относительно выражения:
a2 — ab + b2,
которое называется неполным квадратом разности. Неполный квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа. Неполный квадрат разности отличается от полного только произведением чисел, которое не удваивается.