Увеличение или уменьшение делимого
Если увеличить (или уменьшить) делимое в несколько раз, то частное увеличится (или уменьшится) во столько же раз.
В общем виде: если записать частное в виде равенства
a : b = c,
то изложенное свойство частного можно записать так:
(a ·, m) : b = c ·, m
и
(a : m) : b = c : m.
Пример. Возьмём частное двух чисел: 12 : 3 = 4 и проследим, как оно изменится при увеличении или уменьшении делимого в несколько раз. Так, если увеличить делимое, например, в 2 раза, то получится:
(12 ·, 2) : 3 = 24 : 3 = 8.
Новое частное оказалось больше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что, если 3 в 12 содержится 4 раза, то 3 в сумме 12 + 12 очевидно содержится 8 раз, т. е. в 2 раза больше, чем оно содержится в 12.
Если уменьшить делимое, например, в 2 раза, то получится:
(12 : 2) : 3 = 6 : 3 = 2.
Новое частное оказалось меньше прежнего в 2 раза, потому что, если 3 в 12 содержится 4 раза, то 3 в 6 содержится 2 раза, т. е. в 2 раза меньше, чем оно содержится в 12.
Следовательно, если увеличить или уменьшить делимое в несколько раз, то частное увеличится или уменьшится во столько же раз.
Увеличение или уменьшение делителя
Если увеличить (или уменьшить) делитель в несколько раз, то частное уменьшится (или увеличится) во столько же раз.
В общем виде: если
a : b = c,
то
a : (b ·, m) = c : m
и
a : (b : m) = c ·, m.
Пример. Возьмём частное двух чисел: 24 : 6 = 4 и проследим, как оно изменится при увеличении или уменьшении делителя в несколько раз. Так, если увеличить делитель, например, в 2 раза, то получится:
24 : (6 ·, 2) = 24 : 12 = 2.
Новое частное оказалось меньше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что 12 есть произведение 6 ·, 2, а чтобы разделить на произведение, можно разделить делимое на первый сомножитель (на 6) и полученное число (4) разделить затем на второй сомножитель (на 2), отчего оно уменьшится (в 2 раза).
Если уменьшить делитель, например, в 2 раза, то получится:
24 : (6 : 2) = 24 : 3 = 8.
Новое частное оказалось больше прежнего в 2 раза. Так как 6 в 24 содержится 4 раза, а 3 в два раза меньше 6, то 3, будучи меньше 6 в 2 раза, будет содержаться в 24 в 2 раза больше, т. е. 8 раз.
Следовательно, если увеличить или уменьшить делитель в несколько раз, то частное увеличится или уменьшится во столько же раз.
Предполагается, что деление совершается без остатка. Если же есть остаток, то частное может измениться иначе, чем было до этого указано.
Пример. Возьмём, например, такое деление:
23 : 5 = 4 (остаток 3),
и увеличим делимое в 3 раза. Получим:
69 : 5 = 13 (остаток 4),
по сравнению с делимым, частное увеличилось более, чем в 3 раза.
Основное свойство частного
Частное не изменится, если делимое и делитель одновременно умножить или разделить на одно и то же число.
Основное свойство частного в общем виде: если
a : b = c,
то
(a ·, m) : (b ·, m) = c
и
(a : m) : (b : m) = c.
Пример. Возьмём, например, такое деление: 60 : 15 = 4. Если увеличить делимое и делитель в 5 раз, то получим:
(60 ·, 5) : (15 ·, 5) = 300 : 75 = 4.
Частное не изменилось, потому что от увеличения делимого частное увеличивается, а от увеличения делителя оно уменьшается во столько же раз.
Если уменьшить делимое и делитель в 5 раз, то получим:
(60 : 5) : (15 : 5) = 12 : 3 = 4.
Частное не изменилось, потому что от уменьшения делимого частное уменьшается, а от уменьшения делителя оно увеличивается во столько же раз.