Изменение произведения с изменением сомножителей

Увеличение сомножителей

Если увеличить множимое или множитель в несколько раз, то и произведение увеличится во столько же раз.

В общем виде: если записать произведение в виде равенства

a &middot, b = c,

то изложенное свойство произведения можно записать так:

(a &middot, m) &middot, b = c &middot, m

или

a &middot, (b &middot, m) = c &middot, m.

Пример. Возьмём произведение двух чисел: 5 &middot, 3 = 15 и проследим, как оно изменится при увеличении одного из сомножителей в несколько раз. Так, если увеличить множитель, например, в 2 раза, то получится:

5 &middot, (3 &middot, 2) = 5 &middot, 6 = 30.

Новое произведение оказалось больше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что первое произведение есть сумма трёх слагаемых:

5 + 5 + 5,

а новое произведение сумма 6 таких же слагаемых:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.

Пользуясь сочетательным законом сложения, мы можем в последней сумме каждые три слагаемых соединить в одну группу:

(5 + 5 + 5) + (5 + 5 + 5),

и тогда станет ясно, что новое произведение равно сумме двух чисел, из которых каждое равно прежнему произведению, т. е. новое произведение больше прежнего в 2 раза.

Следовательно, когда какой-либо сомножитель увеличивается в несколько раз, то и произведение увеличивается во столько же раз, во сколько был увеличен сомножитель.

Уменьшение сомножителей

Если уменьшить множимое или множитель в несколько раз, то и произведение уменьшится во столько же раз.

В общем виде: если

a &middot, b = c,

то

(a : m) &middot, b = c : m

или

a &middot, (b : m) = c : m.

Пример. Возьмём произведение двух чисел: 20 &middot, 2 = 40 и проследим, как оно изменится при уменьшении одного из сомножителей в несколько раз. Так, если уменьшить множимое, например, в 2 раза, то получится:

(20 : 2) &middot, 2 = 10 &middot, 2 = 20.

Новое произведение оказалось меньше прежнего в 2 раза. Так оно и должно быть, потому что первое произведение есть сумма двух слагаемых:

20 + 20,

а новое произведение сумма 2 других слагаемых, в два раза меньше прежних:

10 + 10.

Если в 2 раза уменьшить множитель, то получится:

20 &middot, (2 : 2) = 20 &middot, 1 = 20.

Следовательно, когда какой-либо сомножитель уменьшается в несколько раз, то и произведение уменьшается во столько же раз, во сколько был уменьшен сомножитель.

Увеличение и уменьшение

Если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.

В общем виде: если

a &middot, b = c,

то

(a &middot, m) &middot, (b : m) = c

или

(a : m) &middot, (b &middot, m) = c.

Пример. Возьмём произведение двух чисел: 12 &middot, 4 = 48 и проследим, что с ним станет, если мы один сомножитель увеличим в несколько раз, а другой уменьшим, во столько же раз. Так, если множимое увеличить в 2 раза, а множитель уменьшить в 2 раза, то получится:

(12 &middot, 2) &middot, (4 : 2) = 24 &middot, 2 = 48.

Произведение не изменилось, потому что от увеличения одного сомножителя оно увеличилось в два раза, а от уменьшения другого сомножителя оно уменьшилось во столько же раз.

Следовательно, если один сомножитель увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, то произведение не изменится.