Окружность — одна из самых совершенных фигур в геометрии. Построить ее очень просто — нужен только циркуль. Но при своем совершенстве окружность создает одну из самых сложных проблем — определение площади круга. Почему это является проблемой? Дело в том, что площадь измеряется в квадратных единицах (метрах, дециметрах, миллиметрах…). Но превратить круг в прямоугольник или квадрат практически невозможно. Задача эта беспокоила умы математиков и философов на протяжении тысячелетий и даже получала собственное название — квадратура круга.
Чтобы разобраться в проблеме нужно разделить понятия окружности и круга. Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. А круг — это часть плоскости, ограниченная этой окружностью. Для окружности мы ищем длину, а для круга — площадь. Какую бы часть круга, ограниченную окружностью, мы не выбрали, одна из сторон обязательно будет криволинейной. Это усложняет расчет площади, если не использовать интегрального исчисления.
Приблизительно, с высокой долей точности можно найти площадь окружности через диаметр по формуле:
Это самая простая формула, позволяющая найти площадь круга, когда известный радиус. Но может возникнуть вопрос, почему найденная площадь будет неточной? Сложность связана с числом π — это отношение длины окружности к диаметру, не имеющая конечного значения. Такие числа называют иррациональными. Еще в 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что эта постоянная трансцендентная, то есть, если возвести ее в квадрат, все равно получится иррациональное число.
Сложное доказательство этого утверждения создали Феликс Клейн и профессор Линдеманн. Практическое значение этого открытия состоит в том, что любая формула для определения площади круга, где используется число π дает приблизительный результат, то есть, квадратура круга невозможна в принципе. На данный момент известно число «Пи» с точностью до 31, 4 триллиона знаков после запятой. Для вычислений используют значение 3, 14, а для более точных — 3, 1415926.
Для решения повседневных и большинство технических задач вполне достаточно формулы S= π∙ D2/4. Но в геометрии есть свои подходы к решению. Не всегда дано радиус (диаметр), а измерить эту величину можно только косвенным путем при помощи построений описанных и вписанных многоугольников, дополнительных построений и т.д. Рассмотрим наиболее популярные методы, как узнать площадь круга, более подробно. Сразу же оговоримся, способ интегрального исчисления затрагивать не будем, хотя он и наиболее точный. Воспользуемся только геометрическими способами решения.
Вычисление площади по радиусу
S = π∙r2 — формула для вычисления площади круга, если известный радиус. Как видно, это просто запись предыдущего выражения с учетом того, что r = D/2, отсюда r2 = (D/2)2 = D2/4, что и использовано в основной формуле.
Как найти площадь круга через длину окружности
Для начала вспомним, как вычисляется длина окружности. Здесь, как и в других формулах для круга и окружности используется постоянная π. Нужно запомнить, что в математике и физике этот символ является непременным участником всех вычислений, связанных с кругом, окружностью, циклическими процессами, движением по дуге. В частности, длину окружности находим по формулам L=2 πR, или L= πD. Используя их, находим:
R=L/2 π, (1)
D=L/ π. (2)
Используя запись 1 в формуле S = π∙r2 получаем:
S = π(L/2 π)2 = L/4 π.
Аналогичный результат получим, используя формулу 2.
Как вычислить площадь круга, описанного вокруг правильного многоугольника
В каждый круг легко вписать любой правильный многоугольник. Рассмотрим случаи с самыми простыми фигурами. Если в круг вписан квадрат, то формула будет выглядеть так:
S=2π⋅a2/2, где а – сторона квадрата.
Если в круг вписан равносторонний (правильный) треугольник, то формула будет выглядеть так:
S=π⋅a2/3.
Если в равностороннем треугольнике неизвестна длина стороны, но известна высота, то используем формулу:
S=π⋅(2⋅h/3)2.
Если треугольники неправильные, например, равнобедренные или разносторонние, то формулы получаются сложнее. Например, для вычисления площади по данным равнобедренного треугольника используется формула:
S=π⋅( a4/4⋅a2−b2)
В случае прямоугольного треугольника, мы используем формулу:
S=π/4⋅(a2+b2).
Если круг описан вокруг равнобедренной трапеции, то рассчитать площадь можно по более сложной формуле:
S=π⋅( a⋅d⋅c/4⋅√p⋅(p−a)⋅(p−d)⋅(p−c)).
Как видим, задачу вычисления площади круга можно решить при помощи готовых формул, рассчитанных практически для любого случая, используя вписанные или описанные простые геометрические фигуры. Приведем еще несколько из готовых формул, на этот раз, для фигур, внутри которых находится круг неизвестного радиуса:
S=π⋅a2/12 – для равностороннего треугольника,
S=π⋅b2/4⋅(tgα/2)2 — для равнобедренной трапеции,
S=π⋅(а/2)2=π⋅а2/4 — для квадрата.
Учитывая небольшой объем статьи, все формулы приводим без доказательств, как руководство для практического использования при решении геометрических или технических задач.
Часто возникает проблема определения площади полукруга. Это можно сделать очень просто, вычислив площадь полного круга и разделив ее на 2. Если использовать формулу, то выглядеть это будет так:
S = π∙r2/2, или
S= π∙ D2/4/2 = S= π∙ D2/8.
Для решения практических задач сложно пользоваться формулами, да и времени для этого найти не всегда получается. Лучше всего воспользоваться онлайн-калькуляторами на специализированных сайтах. Здесь важно правильно замерить нужные параметры в требуемых единицах. Нот для учеников и студентов такие сервисы не подходят — легкое получение готового результата отучает мыслить самостоятельно и никак не углубляет знаний.