Текстовые задачи ― это одни из самых нелюбимых заданий, особенно у учеников старших классов, потому что чем дальше, тем запутаннее становится условие, тем сложнее становится составить уравнение и верно решить задачу. Но, как и в любой теме в математике, чтобы уверенно решать сложные задачи, необходимо разобраться с самыми основными приемами.
Примеры решения текстовых задач из ЕГЭ
Разберем эти задачи с самого начала. Текстовая задача состоит из условия, в котором описана некоторая ситуация, и вопроса, на который нужно дать ответ.
Задача: Коля наклеил на 5 листов по 2 наклейки. Сколько наклеек наклеил Коля? Условие: Коля наклеил на 5 листов по 2 наклейки. Вопрос: Сколько наклеек наклеил Коля?
Решение любой текстовой задачи можно разделить на несколько основных этапов:
- Работа с условием,
- Составление уравнения,
- Проверка ответа.
Для одного уравнения может быть составлено множество различных условий.
Пример: Уравнение: 2 + х = 5. Условие 1: Маша и Петя вместе нашли 5 грибов. Маша нашла 2. Сколько грибов нашел Петя? Условие 2: Букет состоит из ромашек и колокольчиков. Всего в букете 5 цветков, из них 2 ромашки. Сколько колокольчиков в букете? Условие 3: На елке было 5 игрушек. Две из них упали и разбились. Сколько игрушек осталось на елке?
Для облегчения работы с условием полезно использовать иллюстрацию или моделирование. Это может быть краткая запись условия математически или словесно. Также это может быть дополнительный рисунок или таблица.
Задача: Петя выше Коли, Сережа ниже Коли. Кто выше?
Из рисунка сразу понятен ответ: Петя выше всех.
Для составления уравнения по условию задачи используются различные приемы, в зависимости от данной в условии зависимости величин.
Алгебраическая зависимость в текстовых задачах
Такая зависимость выражается в словах: выше/ниже, больше/меньше, дороже/дешевле, длиннее/короче и т. д.
При составлении уравнения особое значение играют используемые предлоги: «в» и «на».
Задача: Петя выше Коли на 20 см, Сережа ниже Коли на 10 см. На сколько см Петя выше Сережи? Решение: Пусть П ― рост Пети, К ― рост Коли, С ― рост Сережи. Кстати, обратите внимание на этот приём ― выбирать «говорящие» переменные, а не безликие иксы и игреки, чтобы не запутаться при работе с уравнением. Выразим рост мальчиков. Петя выше Коли на 20 см: П – 20 = К. Сережа ниже Коли на 10 см: К = С + 10. Подставим в первое уравнение рост Коли: П – 20 = С + 10. Нам нужно найти, на сколько см Петя выше Сережи: П – С. П – 20 = С + 10, П – С = 20 + 10, П – С = 30. Получаем, что Петя выше Сережи на 30 см.
Задача: На уроке труда ученики делали снежинки. Всего было сделано 12 снежинок. Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля. Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома. Сколько снежинок сделала Маша? Решение: Пусть М ― количество снежинок, которое сделала Маша, К – снежинки Коли, Р ― снежинки Ромы. Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля: К = М/2. Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома: Р = К + 4 = М/2 + 4. Вместе ребята сделали 12 снежинок: М + К + Р = 12. Подставим все выраженные через М значения: М + М/2 + М/2 + 4 = 12. М = 4. Маша сделала 4 снежинки.
Процентная зависимость
Процент ― это всегда доля какого-то числа.
100% ― все число, 50% ― половина, 25% ― четверть.
Чтобы найти 1%, необходимо поделить всё число на 100.
Задача: Есть 100 яблок. 1% от всех яблок 
=1 яблоко. Есть 200 груш. 1% от всех груш ―
= 2 груши.
Для работы с процентами используется пропорция, в которой в одном столбце записываются реальные значения, в другом ― соответствующие проценты.
Пример: 200 груш ― 100 %, 2 груши ― 1 %.
Прогрессия отражает зависимость величин. По-другому это можно записать в виде двух дробей:
= 
. Исходя из правил работы с дробями, получаем правила работы с пропорцией:
- Внутри одной дроби можно сокращать значения.
- Произведение накрест лежащих значений равно: 200 ∙ 1 = 2 ∙ 100.
Задачи
1. Альбом, который стоил 140 рублей, продаётся с 30%-ой скидкой. При покупке 4 таких альбомов покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?
Решение: Новая стоимость альбома равна 140 ∙ (1 – 0,3) = 140 ∙ 0,7 = 98 рублей, тогда при покупке 4 таких альбомов покупатель потратит 98 ∙ 4 = 392 рубля. И сдача равна 500 – 392 = 108 рублей.
2. Государству принадлежит 70% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 50 млн. р. Какая сумма (в млн. рублей) из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Решение: Запишем все данные в виде таблицы:
| Государству | Частным лицам | Общее | |
| Проценты | 70% | 30% | 100% |
| Абсолютное значение | ? | 50 млн. руб. |
Получаем зависимость:
100% ― 50 млн. рублей,
10% ― 5 млн. рублей.
Тогда можем легко посчитать сумму, которая должная пойти на выплату частным акционерам, взяв 3 раза по 10%:
3 ∙ 5 = 15 млн. рублей.
| Государству | Частным лицам | Общее | |
| Проценты | 70% | 30% | 100% |
| Абсолютное значение | 35 млн. руб. | 15 млн. руб. | 50 млн. руб. |
3. Задача. Товар на распродаже уценили на 40%, при этом он стал стоить 750 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи? Решение: Имеем формулу для цены товара, который уценивают:
первоначальная цена (1 ― величина скидки в долях) = новая цена.
Подставим то, что нам дано по условию:
первоначальная цена (1 – 0,4) = 750,
первоначальная цена = 750 : 0,6,
первоначальная цена = 1250.
4. Задача. Из объявления фирмы, проводящей обучающие семинары: «Стоимость участия в семинаре ― 1500 рублей с человека. Группам от организаций предоставляются скидки: от 4 до 8 человек ― 10%, более 8 человек ― 15%».
Сколько рублей должна заплатить организация, направившая на семинар группу из 8 человек? Решение: Стоимость семинаров для группы без скидки равна 1500 ∙ 8 = 12000. Скидка будет составлять 10%, так как по условию именно такая скидка для групп из 8 человек. 10% от 12000 ― это 1200, значит, стоимость со скидкой будет: 12000 – 1200 = 10800.
5. Задача. Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 4800 рублей. В марте он стал стоить 3840 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по март? Решение: Цена за телефон снизилась на 4800 – 3840 = 960 рублей. Поделим эту разницу на цену в январе: 
=0,2.
Значит, цену снизили на 0,2 ∙ 100% = 20%.
6. Задача. Апельсины подешевели на 20%. Сколько апельсинов (в кг) можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 4,8 кг?
Решение: Нам не дана стоимость 1 кг апельсин, поэтому возьмем удобное для вычисления число, например, пусть 1 кг апельсин стоил 100 рублей. Тогда сейчас он стоит 100 ∙ (1 – 0,2) = 80 рублей. Количество денег, на которое мы покупали 4,8 кг апельсин легко посчитать : 4,8 ∙ 100 = 480 рублей. Таким образом, сейчас мы можем купить на эти деньги 
=6 кг апельсинов.
7. Задача. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 35 рублей за штуку. У Вани есть 160 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?
Решение. Делим 160 на 35, получаем 4 целых. Но Ване нужно купить нечетное число цветов, поэтому в ответе указываем 3.
8. Задача. Сырок стоит 6 рублей 70 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 50 рублей?
Решение. Переведем все в копейки. Сырок стоит 670 копеек, а у нас имеется 5000 копеек. Делим 5000 на 670 и получаем 7, 46…Так как часть сырка купить нельзя, округляем в меньшую сторону до целого ― 7 сырков.