Квадратные уравнения

Квадратное уравнение или уравнение второй степени с одним неизвестным это уравнение, которое после преобразований может быть приведено к следующему виду:

ax2 + bx + c = 0 квадратное уравнение,

где x это неизвестное, а a, b и c коэффициенты уравнения. В квадратных уравнениях a называется первым коэффициентом (a &ne, 0), b называется вторым коэффициентом, а c называется известным или свободным членом.

Уравнение:

ax2 + bx + c = 0

называется полным квадратным уравнением. Если один из коэффициентов b или c равен нулю, или нулю равны оба эти коэффициента, то уравнение представляют в виде неполного квадратного уравнения.

Приведённое квадратное уравнение

Полное квадратное уравнение можно привести к более удобному виду, разделив все его члены на a, то есть на первый коэффициент:

x2 + b x + c = 0.
a a

Затем можно избавиться от дробных коэффициентов, обозначив их буквами p и q:

если b = p, а c = q,
a a

то получится x2 + px + q = 0.

Уравнение x2 + px + q = 0 называется приведённым квадратным уравнением. Следовательно, любое квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, можно назвать приведённым.

Например, уравнение:

x2 + 10x — 5 = 0

является приведённым, а уравнение:

-3×2 + 9x — 12 = 0

можно заменить приведённым уравнением, разделив все его члены на -3:

x2 — 3x + 4 = 0.

Решение квадратных уравнений

Чтобы решить квадратное уравнение, надо привести его к одному из следующих видов:

ax2 + bx + c = 0,

ax2 + 2kx + c = 0,

x2 + px + q = 0.

Для каждого вида уравнения есть своя формула нахождения корней:

Вид уравнения Формула корней
ax2 + bx + c = 0
ax2 + 2kx + c = 0
x2 + px + q = 0
или
если коэффициент p нечётный

Обратите внимание на уравнение:

ax2 + 2kx + c = 0

это преобразованное уравнение ax2 + bx + c = 0, в котором коэффициент b четный, что позволяет его заменить на вид 2k. Поэтому формулу нахождения корней для этого уравнения можно упростить, подставив в неё 2k вместо b:

Пример 1. Решить уравнение:

3×2 + 7x + 2 = 0.

Так как в уравнении второй коэффициент не является чётным числом, а первый коэффициент не равен единице, то искать корни будем по самой первой формуле, называемой общей формулой нахождения корней квадратного уравнения. Сначала определим, чему равны коэффициенты:

a = 3, b = 7, c = 2.

Теперь, для нахождения корней уравнения, просто подставим значения коэффициентов в формулу:

x1 = -2 = — 1 , x2 = -12 = -2
6 3 6

Ответ: — 1 , -2.
3


Пример 2:

x2 — 4x — 60 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -60.

Так как в уравнении второй коэффициент чётное число, то будем использовать формулу для квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом:

x1 = 2 + 8 = 10, x2 = 2 — 8 = -6

Ответ: 10, -6.

Пример 3.

y2 + 11y = y — 25.

Приведём уравнение к общему виду:

y2 + 11y = y — 25,

y2 + 11y — y + 25 = 0,

y2 + 10y + 25 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, p = 10, q = 25.

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с чётным вторым коэффициентом:

Ответ: -5.

Пример 4.

x2 — 7x + 6 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, p = -7, q = 6.

Так как первый коэффициент равен 1, то будем искать корни по формуле для приведённых уравнений с нечётным вторым коэффициентом:

x1 = (7 + 5) : 2 = 6,

x2 = (7 — 5) : 2 = 1.

Ответ: 6, 1.

Оцените статью
exam-ans.ru
Добавить комментарий