Определение
Многочлен или полином это алгебраическая сумма нескольких одночленов. Например, выражения:
a — b + c, x2 — y2, 5x — 3y — z многочлены.
Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена. Рассмотрим многочлен:
7a + 2b — 3c — 11,
выражения: 7a, 2b, -3c и -11 это члены многочлена. Обратите внимание на член -11, он не содержит переменной. Такие члены, состоящие только из числа, называются свободными.
Принято считать, что любой одночлен это частный случай многочлена, состоящий из одно члена. В этом случае одночлен является названием для многочлена с одним членом. Для многочленов, состоящих из двух и трёх членов, тоже есть специальные названия двучлен и трёхчлен соответственно:
| 7a | одночлен, | |
| 7a + 2b | двучлен, | |
| 7a + 2b — 3c | трёхчлен. |
Подобные члены
Подобные члены одночлены, входящие в многочлен, которые отличаются друг от друга только коэффициентом, знаком или совсем не отличаются (противоположные одночлены тоже можно назвать подобными). Например, в многочлене:
| 3a2b | + | 5abc2 | + | 2a2b | — | 7abc2 | — | 2a2b |
члены 3a2b, 2a2b и -2a2b, так же как и члены 5abc2 и -7abc2 это подобные члены.
Приведение подобных членов
Если многочлен содержит подобные члены, то его можно привести к более простому виду путём соединения подобных членов в один. Такое действие называется приведением подобных членов. Первым делом заключим в скобки отдельно все подобные члены:
(3a2b + 2a2b — 2a2b) + (5abc2 — 7abc2).
Чтобы соединить несколько подобных одночленов в один, надо сложить их коэффициенты, а буквенные множители оставить без изменений:
((3 + 2 — 2)a2b) + ((5 — 7)abc2) = (3a2b) + (-2abc2) = 3a2b — 2abc2.
Приведение подобных членов это операция замены алгебраической суммы нескольких подобных одночленов одним одночленом.
Многочлен стандартного вида
Многочлен стандартного вида это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, достаточно сделать приведение подобных членов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:
3xy + x3 — 2xy — y + 2×3.
Сначала найдём подобные члены:
| 3xy | + | x3 | — | 2xy | — | y | + | 2×3. |
А теперь сделаем приведение:
| 3xy | + | x3 | — | 2xy | — | y | + | 2×3 | = |
= xy + 3×3 — y.
Если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же переменную, то его члены принято располагать от большей степени к меньшей. Свободный член многочлена, если он есть, ставится на последнее место справа.
Например, многочлен
3x + x3 — 2×2 — 7
должен быть записан так:
x3 — 2×2 + 3x — 7.