Общее кратное
Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.
Пример.
Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.
Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.
Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.
Общее кратное чисел это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.
Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.
Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.
Решение:
2 ·, 3 ·, 4 ·, 6 = 144.
Число 144 общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.
Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.
Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.
Наименьшее общее кратное записывается так:
НОК (a, b, …) = x.
Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.
Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:
НОК (3, 4, 9) = 36.
Как найти НОК
Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.
С помощью разложения на простые множители
Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
99 = 3 ·, 3 ·, 11 = 32 ·, 11,
54 = 2 ·, 3 ·, 3 ·, 3 = 2 ·, 33.
Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.
Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:
2 ·, 33 ·, 11 = 594.
Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
12 = 2 ·, 2 ·, 3 = 22 ·, 3,
49 = 7 ·, 7 = 72.
Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:
22 ·, 3 ·, 72 = 12 ·, 49 = 980.
Ответ: НОК (12, 49) = 980.
Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.
Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:
5 ·, 7 ·, 13 = 45.
Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.
Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
24 = 2 ·, 2 ·, 2 ·, 3 = 23 ·, 3,
12 = 2 ·, 2 ·, 3 = 22 ·, 3,
4 = 2 ·, 2 = 22.
Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:
23 ·, 3 = 24.
Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.
Нахождение НОК через НОД
НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.
Правило в общем виде:
НОК (m, n) = m ·, n : НОД (m, n)
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель:
НОД (99, 54) = 9.
Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:
НОК (99, 54) = 99 ·, 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:
- Находят НОК любых двух из данных чисел.
- Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
- Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:
НОД (12, 8) = 4.
Вычисляем их НОК по формуле:
НОК (12, 8) = 12 ·, 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.
Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:
НОД (24, 9) = 3.
Вычисляем НОК по формуле:
НОК (24, 9) = 24 ·, 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.
Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.
Калькулятор НОК
Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК.
| Вычислить НОК |