Неполное квадратное уравнение это уравнение вида
ax2 + bx + c = 0,
в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:
| ax2 + bx = 0, | если c = 0, |
| ax2 + c = 0, | если b = 0, |
| ax2 = 0, | если b = 0 и c = 0. |
Решение неполных квадратных уравнений
Чтобы решить уравнение вида ax2 + bx = 0, надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся x за скобки:
x(ax + b) = 0.
Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:
x = 0 или ax + b = 0.
Чтобы ax + b было равно нулю, нужно, чтобы
| x = — | b | . |
| a |
Следовательно, уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:
| x1 = 0 и x2 = — | b | . |
| a |
Неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0, где b &ne, 0, решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.
Пример 1. Решите уравнение:
a2 — 12a = 0.
Решение:
| a2 — 12a = 0 | |
| a(a — 12) = 0 | |
| a1 = 0 | a — 12 = 0 |
| a2 = 12 | |
Пример 2. Решите уравнение:
7×2 = x.
Решение:
| 7×2 = x | |
| 7×2 — x = 0 | |
| x(7x — 1) = 0 |
| x1 = 0 | 7x — 1 = 0 | |||
| 7x = 1 | ||||
|
Чтобы решить уравнение вида ax2 + c = 0, надо перенести свободный член уравнения c в правую часть:
| ax2 = -c, следовательно, x2 = — | c | . |
| a |
В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.
Если данное неполное уравнение будет иметь вид x2 — c = 0, то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:
x2 = c.
В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:
x1 = +c , x2 = -c .
Неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0, где c &ne, 0, либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.
Пример 1. Решите уравнение:
24 = 2y2.
Решение:
| 24 = 2y2 | |
| 24 — 2y2 = 0 | |
| -2y2 = -24 | |
| y2 = 12 | |
| y1 = +12 | y2 = -12 |
Пример 2. Решите уравнение:
b2 — 16 = 0.
Решение:
| b2 — 16 = 0 | |
| b2 = 16 | |
| b1 = 4 | b2 = -4 |
Уравнение вида ax2 = 0 всегда имеет только один корень: x = 0. Так как a &ne, 0, то из ax2 = 0 следует, что x2 = 0, значит, и x = 0. Любое другое значение x не будет являться корнем данного уравнения.