Неравенства

Неравенство это запись, в которой числа, переменные или выражения соединены знаком

• &lt, (меньше),
• &gt, (больше),
• (меньше или равно),
• (больше или равно).

То есть неравенством можно назвать сравнение чисел, переменных или выражений. Знаки &lt,, &gt,, и называются знаками неравенства.

Виды неравенств и как они читаются:

a &lt, b	a меньше b,
a &gt, b	a больше b,
a b	a меньше или равно b (a не больше b),
a b	a больше или равно b (a не меньше b).

Как видно из примеров, все неравенства состоят из двух частей: левой и правой, соединённых одним из знаков неравенства. В зависимости от знака, соединяющего части неравенств, их делят на строгие и нестрогие.

Строгие неравенства неравенства, у которых части соединены знаком &lt, или &gt,. Нестрогие неравенства неравенства, у которых части соединены знаком или .

Рассмотрим основные правила сравнения в алгебре:

• Любое положительное число больше нуля:

  0,001 &gt, 0.

• Любое отрицательное число меньше нуля:

  -1000 &lt, 0.

• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше. Например:

  -1 &gt, -7,

  так как |-1| &lt, |-7|.

• Если разность двух неравных чисел a и b положительна:

  a — b &gt, 0,

  то a больше b (a &gt, b).

• Если разность двух неравных чисел a и b отрицательна:

  a — b &lt, 0,

  то a меньше b (a &lt, b).

• Если число больше нуля, то оно положительное:

  a &gt, 0, значит a положительное число.

• Если число меньше нуля, то оно отрицательное:

  a &lt, 0, значит a отрицательное число.

Равносильные неравенства неравенства, являющиеся следствием другого неравенства. Например, если a меньше b, то b больше a:

a &lt, b и b &gt, a равносильные неравенства.

Свойства неравенств

Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число или вычесть из обеих частей одно и то же число, то получится равносильное неравенство.

Например, если a &gt, b, то

a + c &gt, b + c

и

a — c &gt, b — c.

Из этого следует, что можно переносить члены неравенства из одной части в другую с противоположным знаком. Например, прибавив к обеим частям неравенства a — b &gt, c — d по d, получим:

a — b &gt, c — d,

a — b + d &gt, c — d + d,

a — b + d &gt, c.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство.

Например, если a &gt, b, то

ac &gt, bc

и

a	&gt,	b	.
c		c

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то получится неравенство противоположное данному

Например, если a &gt, b умножить на -c, то

-ac &lt, -bc

и

—	a	&lt, —	b	.
	c		c

Следовательно, при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число надо изменить знак неравенства на противоположный.

Это свойство можно использовать для изменения знаков у всех членов неравенства, умножая обе его части на -1 и изменяя знак неравенства на противоположный:

-a + b &gt, -c,

(-a + b) &middot, -1 &lt, (-c) &middot, -1,

a — b &lt, c.

Неравенство -a + b &gt, -c равносильно неравенству a — b &lt, c.