Одночлены

Одночлен это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Пример. 12, , m, (-2)3, a2, 5abc, a3x, 3,7c(-2ab2) одночлены.

Выражения x + 2 или не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.

Число 0 называют нулевым одночленом.

Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы буквенными множителями одночлена.

Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена 5abc.

Решение:

Множителями данного одночлена являются число 5 и буквы a, b, c:

Числовой множитель: 5.

Буквенные множители: a, b, c.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.

Пример. 7, a, -3xy2, 1abс одночлены стандартного вида.

А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:

12aa3b и 4cb(−2)y,

так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.

Стандартный вид нулевого одночлена есть 0.

Коэффициент одночлена

Коэффициент одночлена это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.

Пример. Одночлены

-7ab3, Коэффициент одночлена, -1x, 15

записаны в стандартном виде. Их коэффициенты соответственно равны числам -7, , -1, 15.

Коэффициент одночлена, равный 1 или -1 обычно не пишут.

Если одночлен имеет только буквенные множители, то условились считать, что его коэффициент равен +1 или -1, в зависимости от знака, который стоит (или подразумевается) перед одночленом.

Пример. Одночлены

a, -xy

записаны в стандартном виде. Коэффициент первого из них равен 1, второго -1, так как

a = 1 &middot, a, -xy = -1 &middot, xy.

Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым буквенное выражение, перед которым он стоит.

Пример.

3ab = (ab) &middot, 3 = ab + ab + ab.

Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.

Пример. В одночлене коэффициент означает, что от x2 берётся , потому что , а умножить на значит взять от множимого.

Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.

Пример.

-4mn = -4 &middot, mn = -(mn + mn + mn + mn).

Приведение одночлена к стандартному виду

С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.

Привести одночлен к стандартному виду значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:

  1. Выполнить группировку числовых множителей (если их несколько), а также одинаковых буквенных множителей и их степеней.
  2. Вычислить произведение числовых множителей и по свойству степеней с одинаковыми основаниями перемножить буквенные множители.
  3. Поставить на первое место числовой множитель, а после него расположить буквенные множители в алфавитном порядке.

Пример 1. Запишите одночлен -2b(-3)x34ab2x2 в стандартном виде.

Решение:

Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:

((-2) &middot, (-3) &middot, 4) &middot, (b &middot, b2) &middot, (x3 &middot, x2) &middot, a.

Перемножаем числовые множители и степени с одинаковыми основаниями. Произведение числовых множителей равно 24. Произведение степеней b равно b &middot, b2 = b3. Произведение степеней x равно x3 &middot, x2 = x5:

24 &middot, b3 &middot, x5 &middot, a.

Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:

24ab3x5.

Следовательно:

-2b(-3)x34ab2x2 = ((-2) &middot, (-3) &middot, 4) &middot, (b &middot, b2) &middot, (x3 &middot, x2) &middot, a = 24 &middot, b3 &middot, x5 &middot, a = 24ab3x5.

Пример 2. Представить одночлен -2a4c0b в стандартном виде.

Решение:

Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение в результате будет равно 0. Стандартный вид нулевого одночлена есть 0:

-2a4c0b = 0.

Оцените статью
exam-ans.ru
Добавить комментарий