Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю выполняется по тем же правилам, что и приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю. Следовательно, чтобы привести алгебраические дроби к общему знаменателю, нужно:
- найти общий знаменатель для данных дробей,
- найти дополнительный множитель для каждой дроби,
- умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель,
- записать дроби с найденными новыми числителями и общим знаменателем.
Чтобы найти наименьший общий знаменатель для дробей, надо разложить знаменатель каждой дроби на множители и взять каждый множитель в наибольшей встречающейся степени.
Пример 1. Привести дроби к общему знаменателю:
| 2b | , | c | и | a | . |
| 3a2 | 2b | 6ab |
Решение: Разложим знаменатели дробей на множители:
3a2 = 3 ·, a2,
2b = 2 ·, b,
6ab = 2 ·, 3 ·, a ·, b.
Выпишем множители первого знаменателя и добавим к ним недостающие множители из второго и третьего знаменателя:
3 ·, a2 ·, 2 ·, b = 6a2b.
Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь, чтобы привести дроби к общему знаменателю, нам надо найти для каждой дроби дополнительный множитель. Для этого нужно разделить общий знаменатель на знаменатель каждой дроби:
6a2b : 3a2 = 2b,
6a2b : 2b = 3a2,
6a2b : 6ab = a.
Умножаем числитель каждой дроби на её дополнительный множитель:
2b ·, 2b = 4b2,
c ·, 3a2 = 3a2c,
a ·, a = a2.
Осталось записать дроби с найденными новыми числителями и их общим знаменателем:
| 4b2 | , | 3a2c | и | a2 | . |
| 6a2b | 6a2b | 6a2b |
Пример 2. Привести дроби к общему знаменателю:
| 3a | и | 4 | . |
| a — 2 | a2 — 4 |
Решение: Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу разности квадратов:
a2 — 4 = a2 — 22 = (a + 2)(a — 2).
Получившееся произведение и будет общим знаменателем для данных дробей. Значит, для приведения дробей к общему знаменателю, нам нужно только умножить числитель первой дроби на сумму чисел (a + 2).
3a ·, (a + 2) = 3a2 + 6a.
В результате у нас получилось:
| 3a2 + 6a | и | 4 | . |
| (a + 2)(a — 2) | (a + 2)(a — 2) |
Произведение суммы и разности чисел a и 2 можно обратно свернуть в квадрат разности для более краткой записи дробей:
| 3a2 + 6a | и | 4 | . |
| a2 — 4 | a2 — 4 |