Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.
Первый признак равенства треугольников
Теорема:
Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.
Доказательство:
Рассмотрим два треугольника 
ABC и A1B1C1, у которых:
AB = A1B1, AC = A1C1, A = A1.
Требуется доказать, что
ABC = A1B1C1.
Если наложить A1B1C1 на ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A и сторона A1B1 совместилась со стороной AB, то точка B совместится с точкой B1, так как A1B1 = AB. Сторона A1C1 совместится со стороной AC, так как A = A1. Точка C1 совпадёт с точкой C, так как A1C1 = AC. Стороны B1C1 и BC совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.
Второй признак равенства треугольников
Теорема:
Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.
Доказательство:
Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, у которых:
AC = A1C1, A = A1 и C = C1.
Требуется доказать, что
ABC = A1B1C1.
Если наложить A1B1C1 на ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A и сторона A1C1 совместилась со стороной AC, то точка C1 совпадёт с точкой C, так как A1C1 = AC. Сторона A1B1 совпадёт со стороной AB, так как A = A1. Сторона C1B1 совпадёт со стороной CB, так как C = C1. Вершина B1 совпадёт с вершиной B, так как B и B1 будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.
Третий признак равенства треугольников
Теорема:
Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.
Доказательство:
Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, у которых:
AB = A1B1, BC = B1C1, AC = A1C1.
Требуется доказать, что
ABC = A1B1C1.
Приложим треугольники ABC и A1B1C1 один к другому так, чтобы вершина A совместилась с A1, вершина C с C1, а вершины B и B1 оказались по разные стороны от прямой AC.
Соединив точки B и B1, получим два равнобедренных треугольника BAB1 и BСB1.
В треугольнике BAB1 1 = 4, в BСB1 2 = 3 (как углы при основании). Следовательно,
1 + 2 = 4 + 3, поэтому ABC = AB1C.
Итак, AB = A1B1, BC = B1C1, ABC = A1B1C1.
Из этого следует, что треугольники ABC и A1B1C1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.
Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:
- Если катеты одного треугольника равны катетам другого.
- Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.
- Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.
- Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.