Пропорциональное деление деление какой-нибудь величины на части, прямо или обратно пропорциональные данным числам.
Чтобы разделить число на части пропорционально нескольким данным числам, надо разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из них.
Деление числа на пропорциональные части
Пример 1. Разделить число 50 на части пропорционально числам 2 и 3.
Решение: Надо найти такие два слагаемых числа 50, которые будут относиться друг к другу так, как 2:3. Первое слагаемое должно содержать 2 части числа, а второе 3, значит, число 50 содержит 5 таких частей (2 + 3 = 5), следовательно, каждая такая часть будет равна:
50 : 5 = 10.
Число 10 одна часть. Теперь надо умножить эту часть на числа, пропорционально которым требовалось разделить число 50:
10 ·, 2 = 20,
10 ·, 3 = 30.
Ответ: 2:3 = 20:30.
Пример 2. Разделить число 90 на три слагаемых пропорционально числам 1, 2 и 3.
Решение:
90 : (1 + 2 + 3) = 90 : 6 = 15,
1 ·, 15 = 15,
2 ·, 15 = 30,
3 ·, 15 = 45.
Ответ: 1:2:3 = 15:30:45.
Длинные отношения вида 1:2:3 называются сложными. Сложные отношения это условные записи, показывающие, сколько долей содержит каждая часть. Если члены сложного отношения дробные, то, приведя их к общему знаменателю и умножив на него, можно заменить отношение дробных чисел отношением целых.
Пример. Разделить число 66 на такие три части, чтобы первая относилась ко второй, как 3:2, а вторая к третьей, как 5:4.
Решение:
Первый способ: обозначим искомые части буквами a, b и c. Так как отношение не изменится, если оба члена умножить на одно и то же число, то умножим члены первого отношения на 5, а второго на 2:
a:b = 3:2 = 15:10,
b:c = 5:4 = 10:8,
значит a:b:c = 15:10:8. Так как 15 + 10 + 8 = 33, то
a = (66 : 33) ·, 15 = 30,
b = (66 : 33) ·, 10 = 20,
c = (66 : 33) ·, 8 = 16.
Второй способ: обозначим искомые части буквами a, b и c:
a:b = 3:2,
b:c = 5:4.
Если первая часть a равна 3, вторая b равна 2, то третью часть c можно определить из пропорции:
2:c = 5:4.
Следовательно, c равно:
| c = | 2 ·, 4 | = | 8 | , |
| 5 | 5 |
поэтому
| a:b:c = 3:2: | 8 | . |
| 5 |
Умножив все члены полученного сложного отношения на 5, чтобы избавиться от дробного члена, получим:
a:b:c = 15:10:8,
так как 15 + 10 + 8 = 33, то
a = (66 : 33) ·, 15 = 30,
b = (66 : 33) ·, 10 = 20,
c = (66 : 33) ·, 8 = 16.
Деление на части, обратно пропорциональные числам
Пример. Разделить число 62 на три части обратно пропорционально числам 2, 3 и 5, то есть разложить на три части, которые относились бы между собой, как
| 1 | : | 1 | : | 1 | . |
| 2 | 3 | 5 |
Решение: Обозначим искомые части буквами a, b и c. Приведём члены отношения к общему знаменателю и заменим дробные члены на целые числа:
| a:b:c = | 1 | : | 1 | : | 1 | = | 15 | : | 10 | : | 6 | = 15:10:6, |
| 2 | 3 | 5 | 30 | 30 | 30 |
так как 15 + 10 + 6 = 31, то
a = (62 : 31) ·, 15 = 30,
b = (62 : 31) ·, 10 = 20,
c = (62 : 31) ·, 6 = 12.