Два или более уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Например, уравнения:
x2 + 2 = 3x
и
x2 — 3x + 2 = 0
равносильные, потому что имеют одни и те же корни (2 и 1 это можно проверить подстановкой).
Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.
Преобразование уравнений
Если одно уравнение заменяется другим уравнением, равносильным данному, то такая замена называется преобразованием уравнения. Например, уравнение
x2 + 5 = 9
можно преобразовать в такое:
5 + x2 = 9.
Если одно уравнение заменяется другим, равносильным данному и при этом более простым, то такое преобразование называется упрощением уравнения. Например, упростим следующее уравнение:
2x + 3x = 15,
заменив его равносильным уравнением
5x = 15.
Все преобразования уравнений основаны на двух свойствах равенств, и следствиях, которые вытекают из данных свойств.
Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.
Рассмотрим уравнение x — 5 = 7. Прибавив к обеим частям уравнения число 5
x — 5 + 5 = 7 + 5,
получим уравнение x = 12. Если в уравнение x — 5 = 7 вместо x подставить число 12, то можно удостовериться, что, прибавив к обеим частям уравнения число 5, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.
Из данного свойства можно вывести три следствия:
- Если в обеих частях уравнения есть одинаковые члены с одинаковыми знаками, то эти члены можно опустить (сократить).
Возьмём уравнение x + 13 = 10 + 13. Отняв от обеих частей по 13, получим
x = 10.
- Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
Рассмотрим уравнение 5x — 4 = 12 + x. Прибавим к обеим частям уравнения по 4:
5x — 4 + 4 = 12 + x + 4.
Получим:
5x = 12 + x + 4,
то есть член 4 перешёл в другую часть с обратным знаком. Теперь вычтем из обеих частей уравнения 5x — 4 = 12 + x по x:
5x — 4 — x = 12 + x — x.
Получим:
5x — 4 — x = 12,
то есть член x перешёл в другую часть с обратным знаком.
- Знаки всех членов уравнения можно заменить на противоположные.
Перенесём все члены левой части уравнения 5x — 4 = 12 + x в правую, а все члены правой в левую:
-12 — x = -5x + 4.
И, учитывая, что части любого равенства ( в том числе и любого уравнения) можно менять местами, то, поменяв левую часть с правой, получим:
-5x + 4 = -12 — x,
то есть получилось, что мы просто заменили знаки всех членов уравнения на противоположные.
Данное преобразование можно также рассматривать как умножение обеих частей уравнения на -1.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.
Рассмотрим уравнение 3x = 12. Разделив обе части уравнения на число 3:
3x : 3 = 12 : 3,
получим уравнение x = 4. Если в уравнение 3x = 12 вместо x подставить число 4, то можно удостовериться, что, разделив обе части уравнения на 3, мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.
Из данного свойства можно вывести два следствия:
- Если все члены уравнения имеют общий множитель, то можно разделить на него все члены уравнения, таким образом, упростив его.
Возьмём уравнение 16x + 8 = 40. Разделив все члены на общий множитель 8, получим:
2x + 1 = 5.
- Если в уравнении есть дробные члены, то от них можно освободить уравнение, приведя все члены к одному знаменателю и затем отбросить его.
Возьмём уравнение:
x + 12 — x = 26 — x . 4 2 После приведения всех членов к общему знаменателю получим:
4x + 12 — x = 2(26 — x) . 4 4 4 Теперь, умножив все члены уравнения на 4, или, что то же самое, просто отбросив знаменатель, получим:
4x + 12 — x = 2(26 — x).