Способ группировки это способ разложения многочлена на множители, применяемый в тех случаях, когда члены многочлена не имеют общего множителя. Разложение способом группировки проходит в три этапа:
- Группируем с помощью скобок члены многочлена, имеющие общий множитель.
- Выносим общий множитель каждой группы за скобки.
- Выносим за скобки общий множитель всех получившихся произведений. В данном случае общий множитель будет многочленом.
Рассмотрим многочлен:
x2 + ax + bx + ab.
Его члены не имеют общего множителя, но мы можем сгруппировать их так, чтобы в каждой отдельной группе был общий множитель, который можно будет вынести за скобки:
x2 + ax + bx + ab = (x2 + ax) + (bx + ab) = x(x + a) + b(x + a).
Каждое получившееся произведение имеет общий множитель x + a, который теперь тоже можно вынести за скобки:
x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b).
Таким образом:
x2 + ax + bx + ab = (x + a)(x + b).
Заметим, что можно сгруппировать слагаемые иначе:
x2 + ax + bx + ab = (x2 + bx) + (ax + ab) = x(x + b) + a(x + b).
В обоих случаях группировки мы пришли к тому, что в нашем выражении появился общий многочленный множитель, который можно вынести за скобки:
x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b),
x(x + b) + a(x + b) = (x + b)(x + a).
Обратите внимание, что разница в начальной группировке членов не повлияла на результат разложения многочлена на множители.
Примеры разложения многочлена на множители
Пример 1. Представьте выражение в виде произведения:
а) 2a(a — b) + 3b(a — b),
б) x(x + y) + (x + y).
Решение:
а) 2a(a — b) + 3b(a — b) = (a — b)(2a + 3b),
б) x(x + y) + (x + y) = (x + y)(x + 1).
Пример 2. Разложите на множители:
а) 3x + 3y + z(x + y),
б) 2(a + b) + ac + bc.
Решение:
а) 3x + 3y + z(x + y) = (3x + 3y) + z(x + y) = 3(x + y) + z(x + y) = (x + y)(3 + z),
б) 2(a + b) + ac + bc = 2(a + b) + (ac + bc) = 2(a + b) + c(a + b) = (a + b)(2 + c).