Система уравнений это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
| x — 4y = 2 | |
| 3x — 2y = 16 |
Решить систему уравнений это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
| x — 4y = 2 | |
| 3x — 2y = 16 |
Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:
x — 4y = 2,
x = 2 + 4y.
Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
| 3x | — 2y = 16, |
| 3(2 + 4y) | — 2y = 16. |
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.
| 3(2 + 4y) — 2y = 16, |
| 6 + 12y — 2y = 16, |
| 6 + 10y = 16, |
| 10y = 16 — 6, |
| 10y = 10, |
| y = 10 : 10, |
| y = 1. |
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 ·, 1 = 2 + 4 = 6.
Ответ: x = 6, y = 1.
Способ сравнения
Способ сравнения это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
| x — 4y = 2 | |
| 3x — 2y = 16 |
найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот найти, чему равен x):
| x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
| -4y = 2 — x | -2y = 16 — 3x |
| y = (2 — x) : — 4 | y = (16 — 3x) : -2 |
Составляем из полученных выражений уравнение:
| 2 — x | = | 16 — 3x |
| -4 | -2 |
Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:
| ||||||
| 2 — x = 32 — 6x | ||||||
| -x + 6x = 32 — 2 | ||||||
| 5x = 30 | ||||||
| x = 30 : 5 | ||||||
| x = 6 |
Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:
| x — 4y = 2 | 3x — 2y = 16 |
| 6 — 4y = 2 | 3 ·, 6 — 2y = 16 |
| -4y = 2 — 6 | -2y = 16 — 18 |
| -4y = -4 | -2y = -2 |
| y = 1 | y = 1 |
Ответ: x = 6, y = 1.
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
Рассмотрим систему:
| x — 4y = 2 | |
| 3x — 2y = 16 |
Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:
(3x — 2y) ·, -2 = 16 ·, -2
-6x + 4y = -32
Получим:
| x — 4y = 2 | |
| -6x + 4y = -32 |
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
| + | x — 4y = 2 |
| -6x + 4y = -32 | |
| -5x = -30 |
Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.
Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:
(x — 4y) ·, 3 = 2 ·, 3
3x — 12y = 6
Получим:
| 3x — 12y = 6 | |
| 3x — 2y = 16 |
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
| — | 3x — 12y = 6 |
| 3x — 2y = 16 | |
| -10y = -10 |
Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:
| 3x — 2y = 16 |
| 3x — 2 ·, 1 = 16 |
| 3x — 2 = 16 |
| 3x = 16 + 2 |
| 3x = 18 |
| x = 18 : 3 |
| x = 6 |
Ответ: x = 6, y = 1.
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.