Сложение и вычитание с одинаковыми знаменателями
Чтобы выполнить сложение или вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, надо найти сумму или разность числителей, а знаменатель оставить без изменений.
Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:
| а) | a + 3 | + | a — 3 | , |
| b | b |
| б) | 2b — 1 | + | b + 4 | . |
| 2 | 2 |
Решение: Складываем числители дробей и выполняем приведение подобных членов (если они есть):
| а) | a + 3 | + | a — 3 | = | (a + 3) + (a — 3) | = |
| b | b | b |
| = | a + 3 + a — 3 | = | 2a | , | |
| b | b |
| б) | 2b — 1 | + | b + 4 | = | (2b — 1) + (b + 4) | = |
| 2 | 2 | 2 |
| = | 2b — 1 + b + 4 | = | 3b + 3 | . | |
| 2 | 2 |
Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:
| а) | x + 5 | — | 5x | , |
| 3 | 3 |
| б) | a + b | — | a + 4 | . |
| a — 5 | a — 5 |
Решение: Вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):
| а) | x + 5 | — | 5x | = | x + 5 — 5x | = | 5 — 4x | , |
| 3 | 3 | 3 | 3 |
| б) | a + b | — | a + 4 | = | (a + b) — (a + 4) | = |
| a — 5 | a — 5 | a — 5 |
| = | a + b — a — 4 | = | b — 4 | . |
| a — 5 | a — 5 |
Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями в виде общих формул:
| a | + | b | = | a + b | и | a | — | b | = | a — b | , |
| c | c | c | c | c | c |
где c&ne,0.
Если дроби имеют знаменатели, состоящие из противоположных выражений, то есть выражений, отличающихся только знаком, надо тождественно преобразовать одну из дробей, чтобы привести их к общему знаменателю. Преобразование выполняется в соответствии с правилами знаков:
| a | = | -a | . |
| b | -b |
Данное преобразование можно рассматривать как умножение числителя и знаменателя дроби на -1. Следовательно, если числитель и знаменатель алгебраической дроби заменить на противоположные выражения, то получится дробь, равная данной. Полученную дробь можно переписать, поставив один из минусов перед дробью:
| a | = | -a | = — | a | = — | -a | . |
| b | -b | -b | b |
Также, любую отрицательную дробь можно сделать положительной, перенеся минус, стоящий перед дробью, в числитель или знаменатель:
| — | a | = | -a | = | a | . |
| b | b | -b |
Пример 1. Найдите сумму дробей:
| 5a | + | 3a | . |
| b — c | c — b |
Решение: Чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:
| 5a | + | 3a | = | 5a | — | 3a | = |
| b — c | c — b | b — c | -(c — b) |
| = | 5a | — | 3a | = | 2a | . |
| b — c | b — c | b — c |
Пример 2. Найдите разность дробей:
| n + 5 | — | 2n | . |
| n2 — m | m — n2 |
Решение: Чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:
| n + 5 | — | 2n | = | n + 5 | + | 2n | = |
| n2 — m | m — n2 | n2 — m | -(m — n2) |
| = | n + 5 | + | 2n | = | 3n + 5 | . |
| n2 — m | n2 — m | n2 — m |
Сложение и вычитание с разными знаменателями
Чтобы найти сумму или разность алгебраических дробей с разными знаменателями, надо:
- найти общий знаменатель,
- привести алгебраические дроби к общему знаменателю,
- выполнить сложение или вычитание,
- сократить полученную дробь, если это возможно.
Пример 1. Выполните сложение дробей:
| 2a | + | b | . |
| a + b | a — b |
Решение: Находим общий знаменатель. Он будет равен произведению знаменателей данных дробей:
(a + b)(a — b).
Как находить общий знаменатель, Вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:
2a(a — b) = 2a2 — 2ab,
b(a + b) = ab + b2.
Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:
| 2a | + | b | = | 2a2 — 2ab | + | ab + b2 | = |
| a + b | a — b | a2 — b2 | a2 — b2 |
| = | 2a2 — 2ab + ab + b2 | = | 2a2 — ab + b2 | . |
| a2 — b2 | a2 — b2 |
Пример 2. Выполните вычитание дробей:
| b | — | 2 | . |
| a2 — ab | a — b |
Решение: Разложим знаменатель первой дроби на множители:
a2 — ab = a(a — b).
Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит, теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель a:
2 ·, a = 2a.
Получаем:
| b | — | 2 | = |
| a2 — ab | a — b |
| = | b | — | 2a | = | b — 2a | . |
| a(a — b) | a(a — b) | a(a — b) |
Пример 3. Выполните сложение:
| x + | x2 |
| 1 — x | . |
Решение: Запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю 1 — x:
| x + | x2 | = | x | + | x2 | = |
| 1 — x | 1 | 1 — x |
| = | x(1 — x) | + | x2 | = | x — x2 | + | x2 | . |
| 1 — x | 1 — x | 1 — x | 1 — x |
Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
| x — x2 | + | x2 | = | x — x2 + x2 | = | x | . |
| 1 — x | 1 — x | 1 — x | 1 — x |
Точно также можно выполнять сложение и вычитание алгебраических дробей с любыми многочленами.