Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.
Подобные одночлены
Подобные одночлены одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:
5ab2 и -7ab2 подобные одночлены,
5a2b и 5ab не подобные одночлены.
Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить. Поэтому, прежде чем приступать к определению, подобны ли данные одночлены, или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду. Например, возьмём два одночлена:
5abb и -7b2a.
Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить, являются ли они подобными. Чтобы это узнать, приведём одночлены к стандартному виду:
5ab2 и -7ab2.
Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.
Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными. Например:
5a2bc и -5a2bc противоположные одночлены.
Приведение подобных одночленов это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых.
Сложение одночленов
Чтобы сложить одночлены, надо:
- Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим.
- Привести все одночлены к стандартному виду.
- Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
- Привести подобные слагаемые. Для этого нужно:
- сложить их численные множители,
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Пример 1. Сложить одночлены 12ab, -4a2b и -5ab.
Решение: Составим сумму одночленов:
12ab + (-4a2b) + (-5ab).
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
12ab — 4a2b — 5ab.
Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:
12ab — 4a2b — 5ab = (12 + (-5))ab — 4a2b = 7ab — 4a2b.
Пример 2. Сложить одночлены 5a2bc и -5a2bc.
Решение: Составим сумму одночленов:
5a2bc + (-5a2bc).
Раскроем скобки:
5a2bc — 5a2bc.
Эти два одночлена являются противоположными, то есть, отличаются только знаком. Значит, если мы сложим их численные множители, то получим нуль:
5a2bc — 5a2bc = (5 — 5)a2bc = 0a2bc = 0.
Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль.
Общее правило сложения одночленов:
Чтобы сложить несколько одночленов, следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).
Вычитание одночленов
Чтобы произвести вычитание одночленов, надо:
- Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком — (минус).
- Привести все одночлены к стандартному виду.
- Раскрыть скобки, если они есть в выражении.
- Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
- сложить их численные множители,
- после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений.
Пример. Найти разность одночленов 8ab2, -5a2b и -ab2.
Решение: Составим разность одночленов:
8ab2 — (-5a2b) — (-ab2).
Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит, можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите тут.
8ab2 + 5a2b + ab2.
Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:
8ab2 + 5a2b + ab2 = (8 + 1)ab2 + 5a2b = 9ab2 + 5a2b.
Общее правило вычитания одночленов:
Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.