Сумма всех членов арифметической прогрессии равна половине произведения суммы её крайних членов на количество всех её членов.
| S = | (a1 + an)n | , |
| 2 |
где S это сумма всех членов, a1 первый член прогрессии, an последний член, а n количество членов в данной прогрессии.
Рассмотрим, почему именно с помощью данной формулы можно найти сумму всех членов арифметической прогрессии:
Если взять любую конечную арифметическую прогрессию, например:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,
то не трудно будет посчитать (складывая числа друг за другом), что сумма всех её членов равна 165. В то же время, если сгруппировать попарно все члены, равноудалённые от концов:
(3 + 30), (6 + 27), (9 + 24), (12 + 21) и (15 + 18),
то можно увидеть, что суммы таких групп равны (в данном случае сумма чисел каждой группы равна 33). Значит, вместо того, чтобы последовательно складывать все члены прогрессии, достаточно узнать сумму двух её членов первого и последнего. Так как таких сумм получится ровно в 2 раза меньше, чем всех членов в прогрессии, то для вычисления суммы всех членов, надо умножить сумму первого и последнего члена на общее количество членов прогрессии, разделённое на два:
| (3 + 30) ·, | 10 | = | (3 + 30) ·, 10 | = 165. |
| 2 | 2 |
Исходя из данного примера, можно вывести общую формулу нахождения суммы всех членов прогрессии, если известен первый и последний её члены, а также количество членов:
| S = | (a1 + an) ·, | n | = | (a1 + an)n | . |
| 2 | 2 |
Если в формулу для суммы вместо an вставить равное ему выражение: a1 + (n — 1)d, то получится:
| S = | (2a1 + d(n — 1))n | . |
| 2 |
По этой формуле можно определить сумму в зависимости от первого члена, разности и количества членов данной прогрессии.
Пример. Найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:
1, 3, 5, 7, … .
Решение: В данной прогрессии первый член равен 1, а разность 2, значит, сумма первых 10 членов равна:
| (2 ·, 1 + 2(10 — 1)) ·, 10 | = 100. |
| 2 |