Теорема Пифагора — одна из самых известных в мире геометрии. Формулировка ее предельно простая: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула тоже не выглядит очень сложной:
Теорема даже внесена в книгу рекордов Гиннеса, как имеющая наибольшее количество доказательств. Математики насчитали 370 доказательств, которым была посвящена отдельная книга, вышедшая в 1940 году в США. Здесь приведены доказательства методами подобных треугольников, площадей, дифференциальными уравнениями и другими математическими инструментами.
Парадоксально, но доказательство самого Пифагора не сохранилось. Тот ход мыслей, что сейчас изучают в школе, принадлежит другому выдающемуся математику — Эвклиду. Хотя и его авторство многие ученые считают спорным. Даже авторство теоремы оспаривается, по исследованиям историков, современная запись теоремы и примеры ее практического использования были известны намного раньше VI столетия до н.э., когда жил и работал Пифагор. В одном из папирусов Древнего Египта, который находится в берлинском музее, приведена запись 52=42+32, датируемая 2300 годом до н.э. во времена фараона Аменемхета. Также существуют документальные свидетельства, что формулировка теоремы была известна древним вавилонянам и ученым Индии.
Но заслуг Пифагора умалять нельзя. Он, как и Эвклид, приложили много усилий по систематизации знаний в области геометрии и ее превращении в точную науку. Существует несколько способов доказательства теоремы Пифагора, которые отличаются простотой и логикой. Ни одно из доказательств не противоречит другим, а только демонстрирует, что в математике может существовать множество путей для достижения цели.
Как доказать теорему Пифагора
Чтобы проверить справедливость утверждения, необходимо выполнить ряд построений. Самое простое из них:
Геометрическая суть утверждения — площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника соответствуют равенству S=S1+S2. Если пойти самым простым путем и вычислить эти площади, то обнаружится, что равенство справедливо. А площадь каждого из квадратов равно длине стороны, возведенной во вторую степень.
Второй вариант доказательства требует более глубоких познаний в геометрии и умения мыслить логически и записывать ход своих рассуждений математическими символами.
Дано треугольник АВС с прямым углом С.
Проведем высоту СН, разделяющую данную фигуру на два подобных треугольника АСН и СВН по двум углам. Это прямые углы ∠ACB=∠CHA. По такому же признаку подобны треугольники СВН и АВС.
Обозначив а=ВС, в=АС, с= АВ и внимательно проанализировав подобные треугольники, получим:
Отсюда вытекает, что а2=с ∙ НВ, в2 = с ∙ АН
После сложения равенств, получаем: а2+в2 = с ∙ НВ+ с ∙ АН. Это равносильно а2+в2 = с(АН+НВ). Учитывая, что НВ+АН =С, получаем стандартную запись теоремы Пифагора с2=а2+в2. Что и требовалось доказать.
Доказательство из Древнего Китая
Построение несколько отличается от традиционного. Выглядит фигура так:
Смысл построения в том, что внутренний квадрат построен на гипотенузах четырех треугольников, образующих внешний квадрат. При этом длина сторон большого квадрата равна сумме сторон треугольника а+в.
При этом длина сторон большого квадрата равна сумме сторон треугольника а+в.
Используя формулы для определения площади квадрата:
, где ав/2 – площадь одного треугольника, получим:
, что соответствует формуле а2+2ав+в2 = с2+2ав. Отсюда легко получаем с2=а2+в2, то есть, привычную нам запись теоремы Пифагора, которая была известна в Китае явно под другим названием. Это довольно необычное доказательство теоремы Пифагора, но не лишено изящества и тонкости рассуждений.
Доказательство для равнобедренного треугольника
Для получения результата необходимо разбить построенные на катетах и гипотенузе квадраты на треугольники. Очевидно, что квадрат на гипотенузе вмещает четыре равных треугольника, а на катетах — по два. Получается простое равенство 2+2 = 4, или квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство Гарфилда
Площадь трапеции составлена из прямоугольных треугольников, причем катет одного из разносторонних находится на одной прямой с катетом другого и является его продолжением. Катеты равнобедренного треугольника одновременно являются гипотенузами разносторонних треугольников.
Находим площадь трапеции по формуле:
Эта же площадь определяется, как сумма площадей треугольников:
Сравнив эти выражения, получим классическую формулу теоремы Пифагора — с2=а2+в2.
Существует и обратная теорема Пифагора, которая гласит: если квадрат наиболее длинной стороны равен сумме квадратов остальных сторон, то треугольник прямоугольный. Используя ее, легко определить на практике, является ли угол прямым, пользуясь только линейкой.
Практическое применение теоремы Пифагора
Изучая геометрию, ученики иногда задают вопрос, зачем нужна теорема Пифагора. В геометрии она является базисом для доказательства многих теорем и решения задач. Используется в тригонометрии для определения функций синус и косинус. В повседневной жизни при помощи построения прямоугольных треугольников легко рассчитать высоту объектов, рабочий радиус антенн сотовой и телевизионной связи, параметры строительных конструкций.
Как пример можно привести задачу определения длины приставной лестницы, которая нужна, чтобы установить водосточную трубу на высоте 7 м.
Учитывая то, что опора лестницы должна находиться на расстоянии 2,5 м от стены дома, чтобы угол наклона был безопасным для работы, получаем прямоугольный треугольник с катетами 2,5 и 7 м. Используя теорему Пифагора составляем выражение 2,52+72=х2. Решив уравнение, получаем Х=7.44 м.
Примеров практического применения теоремы можно привести множество. Это еще раз подтверждает тот факт, что вся геометрия началась с решения сугубо прикладных задач строительства и землеустройства. Под экспериментальные данные древние философы и мудрецы подвели теоретическую базу и создали сложную, но интересную науку.