Умножение и деление алгебраических дробей

Умножение дробей

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата) и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата).

Правило умножения алгебраических дробей в виде формулы:

a &middot, c = ac ,
b d bd

где b&ne,0 и d&ne,0.

Пример. Выполнить умножение алгебраических дробей:

2a2 &middot, a + b .
a2 — b2 a

Решение: Перед тем, как приступать к умножению дробей, желательно разложить их числители и знаменатели на множители это поможет сократить алгебраическую дробь, которая получится в результате:

2a2 &middot, a + b = 2a2 &middot, a + b =
a2 — b2 a (a + b)(a — b) a

= 2a2(a + b) .
(a + b)(a — b)a

Теперь сокращаем полученную дробь:

2a2(a + b) = 2a .
(a + b)(a — b)a a — b



Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь или алгебраическую дробь на многочлен, надо умножить многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Пример. Выполнить умножение многочлена на алгебраическую дробь:

(2x + 6) &middot, x — 2 .
x + 3

Решение:

(2x + 6) &middot, x — 2 = (2x + 6)(x — 2) .
x + 3 x + 3

Разложим числитель на множители и сократим дробь:

(2x + 6)(x — 2) = 2(x + 3)(x — 2) =
x + 3 x + 3

= 2(x — 2) = 2x — 4.


Правило умножения алгебраической дроби на многочлен (или умножение многочлена на алгебраическую дробь) в виде формулы:

a &middot, b = ab или b &middot, a = ab ,
c c c c

где c&ne,0.

Возведение алгебраических дробей в степень

Чтобы возвести в степень алгебраическую дробь, надо возвести в эту степень отдельно её числитель и отдельно знаменатель.

Правило возведения алгебраических дробей в степень в виде формулы:

( a )n = an .
b bn

Пример. Выполнить возведение в степень:

а) ( a2 )3 , б) (- 2×3 )2 .
b y2

Решение:

а) ( a2 )3 = (a2)3 = a6 ,
b (b)3 b3

б) (- 2×3 )2 = (2×3)2 = 4×6 .
y2 (y2)2 y4



Посмотреть правила возведения степени в степень вы можете на странице Свойства степени.

Деление дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо дробь, выступающую в качестве делителя, заменить на обратную ей дробь и после этого умножить первую дробь на вторую.

Правило деления алгебраических дробей в виде формулы:

a : c = a &middot, d = ad .
b d b c bc

Следовательно, частное двух дробей равно произведению первой дроби и перевёрнутой второй дроби.

Пример. Выполнить деление алгебраических дробей:

ab + ac : ab — ac .
bc bc

Решение: Переворачиваем делитель и умножаем дроби по правилам умножения:

ab + ac : ab — ac = ab + ac &middot, bc =
bc bc bc ab — ac

= (ab + ac)bc .
bc(ab — ac)

Теперь можно приступать к сокращению полученной дроби:

(ab + ac)bc = ab + ac =
bc(ab — ac) ab — ac

= a(b + c) = b + c .
a(b — c) b — c




Чтобы разделить многочлен на алгебраическую дробь, надо перевернуть дробь и выполнить умножение многочлена на полученную дробь по правилам умножения.

Правило деления многочлена на алгебраическую дробь в виде формулы:

a : b = a &middot, c = ac .
c b b

Пример. Выполнить деление:

6xy2 : x .
y

Решение:

6xy2 : x = 6xy2 &middot, y = 6y3.
y x


Чтобы разделить алгебраическую дробь на многочлен, надо представить многочлен в виде дроби и перевернуть её, затем выполнить умножение дробей по правилам умножения.

Правило деления алгебраической дроби на многочлен в виде формулы:

a : c = a : c = a &middot, 1 = a .
b b 1 b c bc

Пример. Выполнить деление:

2xy : 6y.
3

Решение:

2xy : 6y = 2xy : 6y = 2xy &middot, 1 =
3 3 1 3 6y

= 2xy = x .
18y 9



Оцените статью
exam-ans.ru
Добавить комментарий