Умножение дробей
Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата) и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата).
Правило умножения алгебраических дробей в виде формулы:
| a | ·, | c | = | ac | , |
| b | d | bd |
где b&ne,0 и d&ne,0.
Пример. Выполнить умножение алгебраических дробей:
| 2a2 | ·, | a + b | . |
| a2 — b2 | a |
Решение: Перед тем, как приступать к умножению дробей, желательно разложить их числители и знаменатели на множители это поможет сократить алгебраическую дробь, которая получится в результате:
| 2a2 | ·, | a + b | = | 2a2 | ·, | a + b | = |
| a2 — b2 | a | (a + b)(a — b) | a |
| = | 2a2(a + b) | . |
| (a + b)(a — b)a |
Теперь сокращаем полученную дробь:
| 2a2(a + b) | = | 2a | . |
| (a + b)(a — b)a | a — b |
Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь или алгебраическую дробь на многочлен, надо умножить многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.
Пример. Выполнить умножение многочлена на алгебраическую дробь:
| (2x + 6) ·, | x — 2 | . |
| x + 3 |
Решение:
| (2x + 6) ·, | x — 2 | = | (2x + 6)(x — 2) | . |
| x + 3 | x + 3 |
Разложим числитель на множители и сократим дробь:
| (2x + 6)(x — 2) | = | 2(x + 3)(x — 2) | = |
| x + 3 | x + 3 |
= 2(x — 2) = 2x — 4.
Правило умножения алгебраической дроби на многочлен (или умножение многочлена на алгебраическую дробь) в виде формулы:
| a ·, | b | = | ab | или | b | ·, a | = | ab | , |
| c | c | c | c |
где c&ne,0.
Возведение алгебраических дробей в степень
Чтобы возвести в степень алгебраическую дробь, надо возвести в эту степень отдельно её числитель и отдельно знаменатель.
Правило возведения алгебраических дробей в степень в виде формулы:
| ( | a | )n = | an | . |
| b | bn |
Пример. Выполнить возведение в степень:
| а) ( | a2 | )3 , б) (- | 2×3 | )2 | . |
| b | y2 |
Решение:
| а) ( | a2 | )3 = | (a2)3 | = | a6 | , |
| b | (b)3 | b3 |
| б) (- | 2×3 | )2 = | (2×3)2 | = | 4×6 | . |
| y2 | (y2)2 | y4 |
Посмотреть правила возведения степени в степень вы можете на странице Свойства степени.
Деление дробей
Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо дробь, выступающую в качестве делителя, заменить на обратную ей дробь и после этого умножить первую дробь на вторую.
Правило деления алгебраических дробей в виде формулы:
| a | : | c | = | a | ·, | d | = | ad | . |
| b | d | b | c | bc |
Следовательно, частное двух дробей равно произведению первой дроби и перевёрнутой второй дроби.
Пример. Выполнить деление алгебраических дробей:
| ab + ac | : | ab — ac | . |
| bc | bc |
Решение: Переворачиваем делитель и умножаем дроби по правилам умножения:
| ab + ac | : | ab — ac | = | ab + ac | ·, | bc | = |
| bc | bc | bc | ab — ac |
| = | (ab + ac)bc | . |
| bc(ab — ac) |
Теперь можно приступать к сокращению полученной дроби:
| (ab + ac)bc | = | ab + ac | = |
| bc(ab — ac) | ab — ac |
| = | a(b + c) | = | b + c | . |
| a(b — c) | b — c |
Чтобы разделить многочлен на алгебраическую дробь, надо перевернуть дробь и выполнить умножение многочлена на полученную дробь по правилам умножения.
Правило деления многочлена на алгебраическую дробь в виде формулы:
| a : | b | = a ·, | c | = | ac | . |
| c | b | b |
Пример. Выполнить деление:
| 6xy2 : | x | . |
| y |
Решение:
| 6xy2 : | x | = 6xy2 ·, | y | = 6y3. |
| y | x |
Чтобы разделить алгебраическую дробь на многочлен, надо представить многочлен в виде дроби и перевернуть её, затем выполнить умножение дробей по правилам умножения.
Правило деления алгебраической дроби на многочлен в виде формулы:
| a | : c = | a | : | c | = | a | ·, | 1 | = | a | . |
| b | b | 1 | b | c | bc |
Пример. Выполнить деление:
| 2xy | : 6y. |
| 3 |
Решение:
| 2xy | : 6y = | 2xy | : | 6y | = | 2xy | ·, | 1 | = |
| 3 | 3 | 1 | 3 | 6y |
| = | 2xy | = | x | . |
| 18y | 9 |