Умножение степеней с одинаковыми основаниями
При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.
Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень это сокращённая запись умножения:
23 = 2 ·, 2 ·, 2.
Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:
| 23 ·, 22 = | (2 ·, 2 ·, 2) | ·, | (2 ·, 2) | = |
| 3 множ. | 2 множ. |
| = | 2 ·, 2 ·, 2 ·, 2 ·, 2 | = 25. |
| 5 множ. |
Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:
ax ·, ay = ax+y.
Примеры умножения степеней
Пример 1. Запишите в виде степени:
n3n5.
Решение:
n3n5 = n3 + 5 = n8.
Пример 2. Упростите:
xy2z3x4y5z6.
Решение: Чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями, можно сначала сгруппировать степени по основаниям:
(xx4)(y2y5)(z3z6).
Теперь выполним умножение степеней:
(xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9.
Следовательно:
xy2z3x4y5z6 = x5y7z9.
Пример 3. Выполните умножение:
а) nxn5,
б) xxn,
в) amam.
Решение:
а) nxn5 = nx + 5,
б) xxn = xn + 1,
в) amam = am + m = a2m.
Пример 4. Упростите выражение:
а) -a2 ·, (-a)2 ·, a,
б) -(-a)2 ·, (-a) ·, a.
Решение:
а) -a2 ·, (-a)2 ·, a = -a2 ·, a2 ·, a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = -a5,
б) -(-a)2 ·, (-a) ·, a = -a2 ·, (-a) ·, a = a3 ·, a = a4.
Деление степеней с одинаковыми основаниями
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:
n12 : n5,
где n это число, не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:
| n12 | . |
| n5 |
Представим n12 в виде произведения n7 ·, n5. Тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n5:
| n12 | = | n7 ·, n5 | = n7. |
| n5 | n5 |
Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:
n7 ·, n5 = n7+5 = n12.
Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:
ax : ay = ax-y.
Примеры деления степеней
Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:
| а) | a5 | , б) | m18 | . |
| a | m10 |
Решение:
| а) | a5 | = | a4 ·, a | = a4, |
| a | a |
| б) | m18 | = | m8 ·, m10 | = m8. |
| m10 | m10 |
Пример 2. Выполните деление:
а) x7 : x2,
б) n10 : n5,
в) a30 : a10.
Решение:
а) x7 : x2 = x7 — 2 = x5,
б) n10 : n5 = n10 — 5 = n5,
в) a30 : a10 = a30 — 10 = a20.
Пример 3. Чему равно значение выражения:
| а) | an | , б) | mx | , в) | b5 ·, b8 | . |
| a2 | m | b3 |
Решение:
| а) | an | = an — 2, |
| a2 |
| б) | mx | = mx — 1, |
| m |
| в) | b5 ·, b8 | = | b2 ·, b3 ·, b8 | = b2 ·, b8 = b10. |
| b3 | b3 |