Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x неизвестное, a и b числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a &ne, 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a &ne, 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b &ne, 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b &ne, 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

• освобождение от дробных членов,
• раскрытие скобок,
• перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения),
• сделать приведение подобных членов,
• разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

1. Освобождаем уравнение от дробных членов:

   4(5x — 7) — 24 = 3(3x + 12).

2. Раскрываем скобки:

   20x — 28 — 24 = 9x + 36.

3. Переносим члены:

   20x — 9x = 36 + 28 + 24.
4. Выполняем приведение подобных членов:

   11x = 88.

5. Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

   x = 8.

6. Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

   

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Ответ: x = 8.

Пример 2. Решить уравнение

5(x — 2) = 45.

Решение:

1. Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

   x — 2 = 9.

2. Переносим члены:

   x = 9 + 2.

3. Выполняем приведение подобных членов:

   x = 11.

4. Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:
   

   5(11 — 2) = 45, 5 &middot, 9 = 45, 45 = 45.

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

5(x — 2) = 45, x — 2 = 9, x = 9 + 2, x = 11.

Ответ: x = 11.