Разложение многочлена на множители это преобразование многочлена в произведение, равное данному многочлену.
Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них вынесение общего множителя за скобки.
Вынесение общего множителя за скобки это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево:
ab + ac = a(b + c).
Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:
- Если у каждого члена есть коэффициент, то находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.
- Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.
- Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. Обратите внимание, что многочлен в скобках должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.
Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения общего множителя за скобки на примере многочлена:
20a2bc2 — 10a3c + 15a2b2c.
- Рассматриваем коэффициенты 20, 10 и 15. Нам нужно найти для них наибольший общий делитель. Для данных чисел он равен 5. Число 5 и будет общим множителем для всех коэффициентов.
- Буквенный множитель a есть во всех трёх членах. Возьмём его во второй степени a2, так как это его наименьшая степень, встречающаяся в членах многочлена. По такому же принципу возьмём множитель c.
- Множитель b встречается только в двух членах из трёх, поэтому его мы в общий множить включить не сможем.
В итоге мы получили следующие общие множители: 5, a2 и c. Их произведение 5a2c представляет наибольший общий множитель, который будет вынесен за скобки:
5a2c( … ).
Теперь надо вычислить многочлен, который должен быть в скобках. Для этого надо разделить каждый член исходного многочлена на общий множитель, который мы нашли:
| 20a2bc2 | = 4bc, |
| 5a2c |
| 10a3c | = 2a, |
| 5a2c |
| 15a2b2c | = 3b2. |
| 5a2c |
Следовательно:
20a2bc2 — 10a3c + 15a2b2c = 5a2c(4bc — 2a + 3b2).
Обратите внимание, что вынесение общего множителя за скобки это действие, обратное умножению одночлена на многочлен:
5a2c(4bc — 2a + 3b2) = 20a2bc2 — 10a3c + 15a2b2c.
Примеры разложения многочлена на множители
Пример 1. Вынесите общий множитель за скобки:
а) a — ab,
б) 6xy + 2x.
Решение:
а) a — ab = a ·, 1 — ab = a(1 — b),
б) 6xy + 2x = 6xy + 2x ·, 1 = 2x(3y + 1).
Пример 2. Сократите дробь:
| а) | 6x + 6y | , б) | 8b | . |
| 9x | 4a — 4b |
Решение:
| а) | 6x + 6y | = | 6(x + y) | = | 2(x + y) | , |
| 9x | 9x | 3x |
| б) | 8b | = | 8b | = | 2b | . |
| 4a — 4b | 4(a — b) | a — b |