Импульс: что это такое
Как-то раз Рене Декарт (это который придумал ту самую декартову систему координат) решил, что каждый раз считать силу, чтобы описать процессы — как-то лень и сложно.
Для этого нужно ускорение, а оно не всегда очевидно. Тогда он придумал такую величину, как импульс. Импульс можно охарактеризовать, как количество движения — это произведение массы на скорость.
Закон сохранения импульса
В физике и правда ничего не исчезает и не появляется из ниоткуда. Импульс — не исключение. В замкнутой изолированной системе (это та, в которой тела взаимодействуют только друг с другом) закон сохранения импульса звучит так:
А выглядит — вот так:
Простая задачка
Мальчик массой m = 45 кг плыл на лодке массой M = 270 кг в озере и решил искупаться. Остановил лодку (совсем остановил, чтобы она не двигалась) и спрыгнул с нее с горизонтально направленной скоростью 3 м/с. С какой скоростью станет двигаться лодка?
Решение:
Запишем закон сохранения импульса для данного процесса.
→ → →
p0 = p1 + p2
p0 — это импульс системы мальчик + лодка до того, как мальчик спрыгнул,
p1 — это импульс мальчика после прыжка,
p2 — это импульс лодки после прыжка.
Изобразим на рисунке, что происходило до и после прыжка.
Если мы спроецируем импульсы на ось х, то закон сохранения импульса примет вид
0 = p1 — p2
p1 = p2
Подставим формулу импульса.
mV1 = MV2
Выразим скорость лодки V2:
V2 = mV1/M
Подставим значения:
V2 = 45*3/270 = 3/6 = ½ = 0,5 м/с
Ответ: скорость лодки после прыжка равна 0,5 м/с
Задачка посложнее
Тело массы m1 = 800 г движется со скоростью v1 = 3 м/с по гладкой горизонталь- ной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m2 = 200 г со скоростью v2 = 13 м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.
Решение: Для данной системы выполняется закон сохранения импульса:
Импульс системы до удара — это сумма импульсов тел, а после удара — импульс «получившегося» в результате удара тела.
p1 + p2 = p.
Спроецируем импульсы на ось х:
p1 — p2 = p
После неупругого удара получилось одно тело массы m1 + m2, которое движется с искомой скоростью:
m1v1 — mv2 = (m1 + m2) v
Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:
v = (m1v1 — mv2)/(m1 + m2)
Переводим массу в килограммы и подставляем значения:
v = (0,8·3−0,2·13)/(0,8 + 0,2) = 2,4 — 2,6 = -2,6 м/с
В результате мы получили отрицательное значение скорости. Это значит, что в самом начале на рисунке мы направили скорость после удара неправильно.
Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси X. Это никак не влияет на значение получившееся значение.
Ответ: скорость системы тел после соударения равна v = 0,2 м/с.
Второй закон Ньютона в импульсной форме
Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить следующим образом. Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.
Запишем второй закон Ньютона, спроецированный на ось х, сонаправленную с направлением движения и ускорением:
a = F/m
Применим выражение для ускорения
a = Δv/Δt
В этих уравнениях слева находится величина a . Так как левые части уравнений равны, можно приравнять правые их части
F/m = Δv/Δt
Полученное выражение является пропорцией. Применив основное свойство пропорции, получим такое выражение:
F⋅Δt = Δv⋅m
В правой части находится Δv =v —v0 — это разница между конечной и начальной скоростью.
Преобразуем правую часть
Δv⋅m = (v —v0)⋅m
Раскрыв скобки, получим
Δv⋅m= v ⋅m—v0⋅m
Заменим произведение массы и скорости на импульс:
v⋅m=p
v0⋅m=p0
Подставляем:
Δv⋅m=p —p0
p —p0 =Δp
Или, сокращенно:
Δv⋅m=Δp
То есть, вектор Δv⋅m – это вектор Δp.
Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так
F⋅Δt =Δp
Вернемся к векторной форме, чтобы данное выражение было справедливо для любого направления вектора ускорения.
→
F⋅Δt =Δp⃗
Решение:
Чтобы к белке приложить силу, которая будет толкать белку в обратном направлении от края стола, нужно создать соответствующий импульс (вот и второй закон Ньютона в импульсной форме подъехал).
Ну, а чтобы создать импульс, белка может выкинуть орехи в сторону направления движения — тогда по закону сохранения импульса ее собственный импульс будет направлен против направления скорости орехов.
Реактивное движение
В основе движения ракет, салютов и некоторых живых существ: кальмаров, осьминогов, каракатиц и медуз — лежит закон сохранения импульса. В этих случаях движение тела возникает из-за отделения какой-либо его части. Такое движение называется реактивным.
Яркий пример реактивного движения в технике — движение ракеты, когда из нее истекает струя горючего газа, которая образуется при сгорании топлива.
Сила, с которой ракета действует на газы, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой газы отталкивают от себя ракету:
→ →
F1 = — F2
Сила F2 называется реактивной. Это та сила, которая возникает в процессе отделения части тела. Особенностью реактивной силы является то, что она возникает без взаимодействия с внешними телами.
Закон сохранения импульса позволяет оценить скорость ракеты.
mг vг = mр vр,
где mг — это масса горючего,
vг — скорость горючего,
mр — масса ракеты,
vр — скорость ракеты.
Отсюда можно выразить скорость ракеты:
vр = mг vг / mр
Эта формула справедлива для случая мгновенного сгорания топлива. Мгновенное сгорание — это теоретическая модель. В реальной жизни топливо сгорает постепенно, так как мгновенное сгорание приводит к взрыву.
